Differenzialrechnung<meta http-equiv="Content-type" content="text/html; charset=utf-8"> <link rel="shortcut icon" href="../../favicon.ico"><link rel="stylesheet" href="../../wikistatic.css"></head> <body><div id=topbar><table width='98%' border=0><tr><td><a href="../../h/ha/hauptseite.html" title="Hauptseite">Hauptseite</a> | <b><a href="http://de.wikipedia.org/wiki/Differenzialrechnung" title="Differenzialrechnung">Aktueller Wikipedia-Artikel</a></b></td> <td align=right nowrap><form name=search class=inline method=get action="../../../search/search.html"><input name=search size=19><input type=submit value=Search></form></td></tr></table></div> <div id=article><h1>Differenzialrechnung</h1>Der <strong>Differenzialrechnung</strong> ist ein <A HREF="../../t/te/teilgebiete_der_mathematik.html" title="Teilgebiete der Mathematik">Teilgebiet</A> der <A HREF="../../m/ma/mathematik.html" title="Mathematik">Mathematik</A>. Sie ist eines der zwei Hauptgebiete der <A HREF="../../a/an/analysis.html" title="Analysis">Analysis</A>. Sie untersucht das Verhalten von mathematischen Funktionen bzw. deren Kurven oder Oberflächen. Begriffe wie <em>Steigung</em> oder <em>Krümmung</em> werden definiert.<p> Erfunden wurde die Differenzialrechnung (unabhängig von einander) von <A HREF="../../i/is/isaac_newton.html" title="Isaac Newton">Isaac Newton</A> und <A HREF="../../g/go/gottfried_wilhelm_leibniz.html" title="Gottfried Wilhelm Leibniz">Gottfried Wilhelm Leibniz</A>, die von unterschiedlichen Problemstellungen ausgingen.<p> Leibniz ging von einem <A HREF="../../g/ge/geometrie.html" title="Geometrie">geometrischen</A> Problem aus, dem <strong>Tangentenproblem</strong>: Er wollte eine <A HREF="../../g/ge/gerade.html" title="Gerade">Gerade</A> an eine <A HREF="../../w/we/weg__mathematik_.html" title="Weg (Mathematik)">Kurve</A> legen, die diese in einer kleinen Umgebung möglichst gut annähert.<p> Newtons Ansatzpunkt war das <A HREF="../../p/ph/physik.html" title="Physik">physikalische</A> Problem der <strong>Momentangeschwindigkeit</strong>: Es soll zu einer ungleichförmigen Bewegung zu einem gegebenen Zeitpunkt eine <A HREF="../../g/gl/gleichfa_rmige_bewegung.html" title="Gleichförmige Bewegung">gleichförmige Bewegung</A> gefunden werden, die sie in einem kleinen Zeitintervall möglichst gut annähert.<p> Beide Problemstellungen lassen sich zurückführen auf das Suchen der <A HREF="../../s/st/steigung.html" title="Steigung">Steigung</A> der Tangente in einem bestimmten <A HREF="../../p/pu/punkt.html" title="Punkt">Punkt</A> einer <A HREF="../../s/st/stetigkeit.html" title="Stetigkeit">stetigen</A> <A HREF="../../f/fu/funktion__mathematik_.html" title="Funktion (Mathematik)">Funktion</A>.<p> <p><table border="0" id="toc"><tr><td align="center"> <b>Table of contents</b> <script type='text/javascript'>showTocToggle("show","hide")</script></td></tr><tr id='tocinside'><td align="left"> <div style="margin-left:2em;"> </div> </div> <A CLASS="internal" HREF="#Differenzierbarkeit">1 Differenzierbarkeit</A><BR> <A CLASS="internal" HREF="#Differenzialquotient">2 Differenzialquotient</A><BR> <A CLASS="internal" HREF="#Ableitungsfunktion">3 Ableitungsfunktion</A><BR> <A CLASS="internal" HREF="#Beispiele">4 Beispiele</A><BR> <div style="margin-left:2em;"> <A CLASS="internal" HREF="#Beispiel für das Bestimmen einer Ableitungsfunktion">4.1 Beispiel für das Bestimmen einer Ableitungsfunktion</A><BR> <A CLASS="internal" HREF="#Beispiel für eine nicht differenzierbare Funktion">4.2 Beispiel für eine nicht differenzierbare Funktion</A><BR> <A CLASS="internal" HREF="#Beispiel für eine nicht stetig differenzierbare Funktion">4.3 Beispiel für eine nicht stetig differenzierbare Funktion</A><BR> </div> <A CLASS="internal" HREF="#Ableitungsregeln">5 Ableitungsregeln</A><BR> <A CLASS="internal" HREF="#Mehrfache Ableitungen, Glattheit">6 Mehrfache Ableitungen, Glattheit</A><BR> <A CLASS="internal" HREF="#Anwendung bei der Kurvendiskussion">7 Anwendung bei der Kurvendiskussion</A><BR> <div style="margin-left:2em;"> <A CLASS="internal" HREF="#Waagerechte Tangenten">7.4 Waagerechte Tangenten</A><BR> <A CLASS="internal" HREF="#Wendepunkte">7.5 Wendepunkte</A><BR> <A CLASS="internal" HREF="#Sattelpunkte">7.6 Sattelpunkte</A><BR> </div> <A CLASS="internal" HREF="#Ableitungen nach der Zeit">8 Ableitungen nach der Zeit</A><BR> <A CLASS="internal" HREF="#Partielle Ableitungen">9 Partielle Ableitungen</A><BR> <A CLASS="internal" HREF="#Wichtige Sätze">10 Wichtige Sätze</A><BR> <A CLASS="internal" HREF="#Weblinks">11 Weblinks</A><BR> </td></tr></table><P> <A NAME="Differenzierbarkeit"><H2>Differenzierbarkeit</H2><p> Die Funktion <em>f</em> heißt <strong>differenzierbar</strong> an der Stelle x<sub>0</sub> falls der Grenzwert<p> <dl><dd><p> </dd></dl>existiert. Man nennt ihn den Differentialquotienten. Eine Funktion ist genau dann differenzierbar wenn sie an jeder Stelle ihres Definitionsbereichs differenzierbar ist. In einfachen Worten bedeutet das, dass <em>f</em> genau dann differenzierbar ist wenn an jedem Punkt des Graphen von <em>f</em> genau eine Tangente existiert. <p> <A NAME="Differenzialquotient"><H2>Differenzialquotient</H2><p> Die Steigung einer Geraden zwischen zwei Punkten des <A HREF="../../f/fu/funktionsgraph.html" title="Funktionsgraph">Graphensens</A> einer Funktion <em>f</em>(<em>x</em>) (<A HREF="../../s/se/sekante.html" title="Sekante">Sekante</A>) ist der <strong>Differenzenquotient</strong><p> <dl><dd><p> </dd></dl>Lässt man nun die beiden Punkte immer näher zusammen wandern und bildet den <A HREF="../../g/gr/grenzwert.html" title="Grenzwert">Grenzwert</A>, so wird die Sekante zur <A HREF="../../t/ta/tangente.html" title="Tangente">Tangente</A> und man erhält den <strong>Differenzialquotienten</strong>:<p> <dl><dd><p> </dd><dd><p> </dd></dl>Newtons Ansatz führt zu dem gleichen Ergebnis: Wenn <em>f</em>(<em>t</em>) den in der Zeit <em>t</em> zurückgelegten Weg angibt, so ist die mittlere Geschwindigkeit:<p> <dl><dd><p> </dd></dl>bildet man nun wieder den Grenzwert für Δ<em>t</em> nach 0 ergibt sich die Momentangeschwindigkeit:<p> <dl><dd><p> </dd></dl>Die Terme d<em>x</em> und d<em>y</em> beziehungsweise d<em>s</em> und d<em>t</em> heißen <A HREF="../../d/di/differential__mathematik_.html" title="Differential (Mathematik)">Differenzialee</A>; ein Differential ist auch in der üblichen Notation eines <A HREF="../../i/in/integralrechnung.html" title="Integralrechnung">Integrals</A> enthalten.<p> <A NAME="Ableitungsfunktion"><H2>Ableitungsfunktion</H2><p> Die Funktion der Differenzialquotienten an allen Stellen von <em>f</em> nennt man die <strong>Ableitungsfunktion</strong> <strong><em>f ' </strong></em> - oder kurz <strong>Ableitung</strong> - von <em>f</em>. <em>f ' </em>(<em>x</em><sub>0</sub>) nennt man die Ableitung von <em>f</em> an der Stelle <em>x</em><sub>0</sub>. Sie entspricht der Steigung des Graphen der Funktion an der Stelle <em>x</em><sub>0</sub>.<p> Ist die Ableitung <A HREF="../../s/st/stetigkeit.html" title="Stetigkeit">stetig</A>, dann heißt <em>f</em> <strong>stetig differenzierbar</strong>.<p> <A NAME="Beispiele"><H2>Beispiele</H2><p> <A NAME="Beispiel für das Bestimmen einer Ableitungsfunktion"><H3>Beispiel für das Bestimmen einer Ableitungsfunktion</H3><p> Gesucht ist die Ableitung der Funktion mit der Gleichung <p> Dann ist<p> <dl><dd><p> <dl><dd><p> </dd><dd><p> </dd><dd><p> </dd></dl></dd></dl>und daher<p> <dl><dd><p> </dd></dl><A NAME="Beispiel für eine nicht differenzierbare Funktion"><H3>Beispiel für eine nicht differenzierbare Funktion</H3><p> <em>f</em>(<em>x</em>) = |<em>x</em>| ist an der Stelle 0 nicht differenzierbar, denn es gilt:<p> Wenn <em>x</em> > 0 gilt <em>f</em>(<em>x</em>)= <em>x</em> und damit<p> <dl><dd><p> </dd></dl>und wenn <em>x</em> < 0 gilt <em>f</em>(<em>x</em>) = -<em>x</em> und damit<p> <dl><dd><p> </dd></dl>Da der linkseitige und der rechtsseitige Grenzwert nicht übereinstimmen existiert kein allgemeiner Grenzwert und <em>f</em> ist nicht differenzierbar.<p> <p> Sieht man den Graph von <em>f</em>, so könnte man sagen, dass <em>f</em> genau dann differenzierbar ist, wenn er keine "Knicke" enthält.<p> <A NAME="Beispiel für eine nicht stetig differenzierbare Funktion"><H3>Beispiel für eine nicht stetig differenzierbare Funktion</H3><p> Beachte: Selbst wenn <em>f</em> überall differenzierbar ist, muss die Ableitung nicht stetig sein. <p> <p> Zum Beispiel ist die Funktion<p> in jedem Punkt differenzierbar, aber die Ableitung<p>  ist im Punkt 0 nicht stetig.<p> <A NAME="Ableitungsregeln"><H2>Ableitungsregeln</H2><p> Seien <em>f</em>, <em>g</em> und <em>h</em> (im Definitionsbereich) differenzierbare, <A HREF="../../r/re/reelle_zahl.html" title="Reelle Zahl">reelle</A> Funktionen, <em>n</em> und <em>a</em> reelle Zahlen, dann gilt:<p> <ul><li> <A HREF="../../k/ko/konstante.html" title="Konstante">konstante</A> Funktion: (<em>a</em>)' = 0 </li><li> <A HREF="../../p/po/potenzregel.html" title="Potenzregel">Potenzregel</A>: (<em>x</em><sup><em>n</em></sup>)' = <em>nx</em><sup><em>n</em>-1</sup>, falls <em>n</em> ≠ 0 </li><li> <A HREF="../../s/su/summenregel.html" title="Summenregel">Summenregel</A>: (<em>g</em>+<em>h</em>)' = <em>g</em>' + <em>h</em> ' </li><li> Differenzregel: (<em>g</em>-<em>h</em>)' = <em>g</em>' - <em>h</em>' </li><li> <A HREF="../../k/ko/konstantenregel.html" title="Konstantenregel">Faktorregel</A>: (<em>a</em>·<em>f</em>)' = <em>a</em>·<em>f</em> ' </li><li> <A HREF="../../p/pr/produktregel.html" title="Produktregel">Produktregel</A>: (<em>g</em>·<em>h</em>)' = <em>g</em>' <em>h</em> + <em>h</em>' <em>g</em> </li><li> <A HREF="../../q/qu/quotientenregel.html" title="Quotientenregel">Quotientenregel</A>: </li><li> <A HREF="../../k/ke/kettenregel.html" title="Kettenregel">Kettenregel</A>: (<em>g</em>(<em>h</em>(<em>x</em>)))' = <em>g</em> '(<em>h</em>(<em>x</em>))·<em>h</em>'(<em>x</em>) </li><li> Umkehrregel: Ist <em>f</em> eine, an der Stelle <em>x</em><sub>0</sub> differenzierbare, bijektive Funktion mit <em>f</em> '(<em>x</em><sub>0</sub>)≠0, und ihre <A HREF="../../u/um/umkehrfunktion.html" title="Umkehrfunktion">Umkehrfunktion</A> <em>f</em><sup> -1</sup> bei <em>f</em>(<em>x</em><sub>0</sub>) differenzierbar, dann gilt:<br><br> (Spiegelt man einen Punkt <em>P</em> des <A HREF="../../f/fu/funktionsgraph.html" title="Funktionsgraph">Graphen</A> von <em>f</em> an der 1. Mediane und erhält damit <em>P</em>* auf <em>f</em><sup> -1</sup>, so ist die Steigung von <em>f</em><sup> -1</sup> in <em>P</em>* der <A HREF="../../k/ke/kehrwert.html" title="Kehrwert">Kehrwert</A> der Steigung von <em>f</em> in <em>P</em>)<p> </li></ul>Die Ableitungen einiger elementarer Funktionen sind in der <A HREF="../../t/ta/tabelle_von_ableitungs__und_stammfunktionen.html" title="Tabelle von Ableitungs- und Stammfunktionen">Tabelle von Ableitungs- und Stammfunktionen</A> angegeben.<p> <A NAME="Mehrfache Ableitungen, Glattheit"><H2>Mehrfache Ableitungen, Glattheit</H2><p> Ist die Ableitung einer Funktion <em>f</em> wiederum differenzierbar, so lässt sich die zweite Ableitung von <em>f</em> als Ableitung der ersten definieren. Auf dieselbe Weise können dann auch dritte, vierte, etc. Ableitungen definiert werden.<p> Eine unendlich oft differenzierbare Funktion wird <A HREF="../../g/gl/glatte_funktion.html" title="Glatte Funktion">glatte Funktion</A> genannt. Jede <A HREF="../../a/an/analytische_funktion.html" title="Analytische Funktion">analytische Funktion</A> ist glatt, aber nicht umgekehrt, wie das im Artikel <A HREF="../../t/ta/taylorreihe.html" title="Taylorreihe">Taylorreihe</A> gegebene Beispiel einer nicht analytischen glatten Funktion zeigt.<p> <A NAME="Anwendung bei der Kurvendiskussion"><H2>Anwendung bei der Kurvendiskussion</H2><p> Bei der Untersuchung eines Funktionsgraphen auf seine Eigenschaften (<A HREF="../../k/ku/kurvendiskussion.html" title="Kurvendiskussion">Kurvendiskussion</A>) spielen die Ableitungsfunktionen eine entscheidende Rolle, da sie die Steigung des Graphen beschreiben. Dies sei am Beispiel der Funktion mit der Gleichung<p> <dl><dd><p> </dd></dl>erläutert. Die Abbildung zeigt den Verlauf von <em>f</em>(<em>x</em>), <em>f</em> '(<em>x</em>) und <em>f</em> ''(<em>x</em>).<p> <p> <A NAME="Waagerechte Tangenten"><H3>Waagerechte Tangenten</H3><p> Eine Steigung 0, d.h. <em>f</em> '(<em>x</em>)=0, kennzeichnet eine waagerechte Tangente bei <em>f</em>(<em>x</em>). Dies kann einen Hochpunkt (lokales Maximum), einen Tiefpunkt (lokales Minimum) oder einen Sattelpunkt bedeuten. Im Beispiel ist<p> <dl><dd><p> </dd></dl><em>f</em> '(<em>x</em>) wird 0 bei <em>x</em>=1 und <em>x</em>=3.<p> Die zweite Ableitung <em>f</em> ''(<em>x</em>) beschreibt die Steigung von <em>f</em> '(<em>x</em>), also die Änderung der Steigung von <em>f</em>(<em>x</em>). Ist <em>f</em> ''(<em>x</em>)>0, so ändert sich <em>f</em> '(<em>x</em>) von negativen zu positiven Werten, also liegt ein Tiefpunkt von <em>f</em>(<em>x</em>) vor. Im Falle <em>f</em> ''(<em>x</em>)<0 ändert sich die Steigung vom positiven zu negativen Werten, das bedeutet eine Hochpunkt von <em>f</em>(<em>x</em>). Im Beispiel ist <em>f</em> ''(1) = -2 und <em>f</em> ''(3) = 2.<p> <A NAME="Wendepunkte"><H3>Wendepunkte</H3><p> Ist <em>f</em> ''(<em>x</em>)=0, so hat <em>f</em> '(<em>x</em>) hier eine waagerechte Tangente und die Steigung von <em>f</em>(<em>x</em>) ändert sich an dieser Stelle nicht. Wenn <em>f</em> '(<em>x</em>) hier einen Hoch- oder Tiefpunkt besitzt (also <em>f</em> '''(<em>x</em>) hier nicht 0 ist), dann bedeutet das einen Wendepunkt von <em>f</em>(<em>x</em>). Im Beispiel ist<p> <dl><dd><p> </dd></dl>und wird 0 bei <em>x</em>=2. Zugleich ist<p> <dl><dd><p> </dd></dl>und daher ungleich 0.<p> <A NAME="Sattelpunkte"><H3>Sattelpunkte</H3><p> Einen Wendepunkt mit zugleich waagerechter Tangente nennt man einen Sattelpunkt. Für ihn gilt demnach <em>f</em> '(<em>x</em>)=0 und <em>f</em> ''(<em>x</em>)=0, wie im Beispiel der Funktion mit der Gleichung<p> <dl><dd><p> </dd></dl>an der Stelle <em>x</em>=0. <p> <p> Allerdings ist das kein hinreichendes Kriterium, es kann auch <em>f</em> '(<em>x</em>)=0 und <em>f</em> ''(<em>x</em>)=0 werden, ohne dass ein Wendepunkt auftritt, wie im Beispiel<p> <dl><dd><p> </dd></dl><p> Erst wenn <em>f</em> ''' <em>nicht</em> 0 ist, ist ein Wendepunkt erwiesen. <p> Eine vollständige Kurvendiskussion umfasst weitere Untersuchungen, siehe <A HREF="../../k/ku/kurvendiskussion.html" title="Kurvendiskussion">Kurvendiskussion</A>.<p> <A NAME="Ableitungen nach der Zeit"><H2>Ableitungen nach der Zeit</H2><p> Die wichtigste Anwendung der Analysis in der Physik ist die Ableitung nach der Zeit: die Änderungsrate.<p> Wenn man zum Beispiel die Funktion der zurückgelegten <A HREF="../../s/st/strecke.html" title="Strecke">Strecke</A> (<A HREF="../../p/po/position.html" title="Position">Position</A>) nach der Zeit ableitet erhält man die <A HREF="../../g/ge/geschwindigkeit.html" title="Geschwindigkeit">Geschwindigkeit</A>. Leitet man diese nach der Zeit ab, erhält man die <A HREF="../../b/be/beschleunigte_bewegung.html" title="Beschleunigte Bewegung">Beschleunigung</A>. Die Ableitungen physikalischer Größen nach der Zeit werden meist durch einen Punkt über dem Symbol anstelle des Hochkommas gekennzeichnet.<p> <A NAME="Partielle Ableitungen"><H2>Partielle Ableitungen</H2><p> Alle vorigen Ausführungen legten eine Funktion in <em>einer</em> Variablen (also eine -Funktion) zu Grunde. Hingegen können Funktionen in <em>mehreren</em> Variablen (also -Funktionen) nach <em>jeder</em> unabhängigen Variable abgeleitet werden. So lassen sich für eine Funktion in Variablen insgesamt so genannte partielle Ableitungen errechnen:<p> <dl><dd><p> </dd><dd><p> </dd></dl>Die einzelnen partiellen Ableitungen einer Funktion lassen sich auch gebündelt als <A HREF="../../n/na/nablavektor.html" title="Nablavektor">Nablavektor</A> anschreiben.<p> <A NAME="Wichtige Sätze"><H2>Wichtige Sätze</H2><p> <A HREF="../../m/mi/michel_rolle.html" title="Michel Rolle">Satz von Rolle</A><br> <A HREF="../../m/mi/mittelwertsatz_der_differenzialrechnung.html" title="Mittelwertsatz der Differenzialrechnung">Mittelwertsatz der Differenzialrechnung</A><p> <p> <A NAME="Weblinks"><H2>Weblinks</H2> <ul><li><A HREF="http://www.walter-fendt.de/m14d/sektang.htm" class="external">Interaktive Veranschaulichung der Sekanten- und Tangentensteigung</A> </li><li><A HREF="http://www.mmnetz.de/huseyin/mathematik.htm" class="external">Herleitung von Ableitungsregeln</A><p> </li></ul><em>Siehe auch:</em> <A HREF="../../d/di/differentialgleichung.html" title="Differentialgleichung">Differentialgleichung</A>, <A HREF="../../i/in/integralrechnung.html" title="Integralrechnung">Integralrechnung</A><p> <p> <p> <p> <p> <p></div><br><div id=footer><table border=0><tr><td> <small>Dies ist ein Artikel aus der freien Enzyklopädie <a href="http://de.wikipedia.org">Wikipedia</a>. Stand: August 2004. Der Artikel steht unter der <a href="http://www.gnu.org/licenses/fdl.txt">GNU Free Documentation License</a>.</small></td></tr></table></div>