Hausdorff-Raum
| Hausdorff-Raum (T2) |
| berührt die Spezialgebiete |
| ist Spezialfall von |
| umfasst als Spezialfälle |
| Beispiele sind |
Ein Hausdorff-Raum (benannt nach dem Mathematiker Felix Hausdorff) oder separierter Raum ist ein topologischer Raum M, in dem das folgende Trennungsaxiom T2 (auch Hausdorffeigenschaft genannt) gilt:
Für alle x,y aus M mit x≠y existieren disjunkte offene Umgebungen U(x) und V(y).
Mit anderen Worten: jede zwei verschiedenen Punkte x und y aus M werden durch Umgebungen getrennt.
| Table of contents |
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2 Beispiele 3 Literatur |
Ein Hausdorff-Raum ist präregulär (R1):
Einordnung in die Hierarchie topologischer Räume
und hat die Kolmogoroff-Eigenschaft (T0):
- jede zwei verschiedenen Punkte x und y aus M sind topologisch unterscheidbar.
Beweis:
- Wenn R1 und T0 gegeben sind, folgt unmittelbar T2: diesen Schluss kann man rein formal ziehen, ohne zu wissen, was topologisch unterscheidbar überhaupt heißt.
- Der umgekehrte Schluss von T2 auf R1 und T0 geht so:
- Aus der Definition von T2 folgt für verschiedene x, y die Existenz der Menge U(x), die x, aber nicht y enthält, ergo gilt T0.
- Seien x, y zwei topologisch unterscheidbare Punkte: dann gibt es eine Menge, die den einen Punkt enthält, den anderen aber nicht; somit ist x≠y. Dann folgt mit T2, dass x und y durch Umgebungen getrennt sind. Ergo gilt R1.
Beispiele
So gut wie alle in der Analysis betrachteten Räume sind Hausdorff-Räume. Insbesondere jeder metrische Raum ist ein Hausdorff-Raum.
Ein Beispiel für einen Hausdorff-Raum, der kein metrischer Raum ist, ist die Menge der abzählbaren Ordinalzahlen mit der gewöhnlichen Ordnungstopologie.
Wird das Spektrum eines Ringes mit der Zariski-Topologie versehen, erhält man einen nüchternen topologischen Raum, der meist nicht präregulär, geschweige denn hausdorffsch ist.
Literatur
B. v. Querenburg: Mengentheoretische Topologie, Springer, Berlin 2001, ISBN 3540677909