Kompakter Raum
| kompakter Raum |
| berührt die Spezialgebiete |
| ist Spezialfall von |
| umfasst als Spezialfälle |
Kompaktheit ist eine rein topologische Eigenschaft, die einem topologischen Raum zukommt oder nicht, und die in vielen mathematischen Aussagen vorausgesetzt wird - oft auch in abgeschwächter Form als Lindelöf-Eigenschaft oder Parakompaktheit. Lokale Kompaktheit ist dagegen eine weder über-, noch untergeordnete Bedingung.
Eine kompakte Menge nennt man je nach Kontext auch Kompaktum oder kompakter Raum; dabei ist nicht erheblich, ob sie Teilmenge eines Oberraums ist oder nicht.
Einfache Beispiele für kompakte Mengen sind abgeschlossene und beschränkte Teilmengen des Euklidischen Raums Rn wie das Intervall [0,1] (mit n=1) oder dessen Verallgemeinerung, der n-dimensionale Hyperwürfel [0,1]n. Einfache Gegenbeispiele bilden die nicht kompakten Mengen [0,∞) oder [0,1).
Der Begriff Beschränktheit setzt jedoch eine Metrik voraus. Kompaktheit kann man dagegen in einer abstrakteren Weise definieren, die nicht mehr als eine beliebige Topologie voraussetzt.
| Table of contents |
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2 Beispiele 3 Eigenschaften 4 Andere Formen von Kompaktheit |
Eine Teilmenge M eines topologischen Raums E heißt kompakt, wenn aus jeder vorgegebenen offenen Überdeckung eine endliche Teilüberdeckung ausgewählt werden kann.
Dabei bedeutet:
Die folgenden Räume sind kompakt:
Einige Sätze beziehen sich auf Kompaktheit (siehe Topologie-Glossar für Definitionen):
Es gibt einige topologische Eigenschaften, die äquivalent zur Kompaktheit in metrischen Räumen sind, aber inäquivalent in allgemeinen topologischen Räumen. Diese beinhalten die folgenden:
Definition
Bemerkungen:
Beispiele
Die folgenden Räume sind nicht kompakt:
Eigenschaften
Die Umkehrung gilt jedoch nicht in jedem topologischen Raum, d.h. eine Teilmenge, in der jede Folge eine (in der Teilmenge) konvergente Teilfolge hat (eine solche Teilmenge heißt folgenkompakt, siehe unten), muss nicht kompakt sein. (Ein Beispiel bildet die Menge der abzählbaren Ordinalzahlen mit der Ordnungstopologie??)Andere Formen von Kompaktheit
Während diese Konzepte für metrische Räume äquivalent sind, gibt es im Allgemeinen folgende Beziehungen:
Siehe auch: Topologie-Glossar