Logarithmus<meta http-equiv="Content-type" content="text/html; charset=utf-8"> <link rel="shortcut icon" href="../../favicon.ico"><link rel="stylesheet" href="../../wikistatic.css"></head> <body><div id=topbar><table width='98%' border=0><tr><td><a href="../../h/ha/hauptseite.html" title="Hauptseite">Hauptseite</a> | <b><a href="http://de.wikipedia.org/wiki/Logarithmus" title="Logarithmus">Aktueller Wikipedia-Artikel</a></b></td> <td align=right nowrap><form name=search class=inline method=get action="../../../search/search.html"><input name=search size=19><input type=submit value=Search></form></td></tr></table></div> <div id=article><h1>Logarithmus</h1><p> Der <strong>Logarithmus</strong> ist eine <A HREF="../../m/ma/mathematik.html" title="Mathematik">mathematische</A> <A HREF="../../f/fu/funktion__mathematik_.html" title="Funktion (Mathematik)">Funktion</A> (Formelzeichen "log") und wie folgt definiert:<p> <dl><dd>Für a > 0 gilt: Wenn <em>y</em> = <em>a</em><sup>x</sup> dann ist <em>x</em> = log<sub><em>a</em></sub>(<em>y</em>) </dd><dd>(Lies: <em>x ist der Logarithmus von y zur Basis a</em>). <p> </dd></dl>Der Logarithmus ist immer durch eine bestimmte, hier <em>a</em> genannte Basis definiert.<p> Der Logarithmus (zur Basis <em>a</em>) einer Zahl <em>y</em> ist also diejenige Zahl <em>x</em>, mit der man die Basis <em>a</em> potenzieren muss, um diese Zahl <em>y</em> zu erhalten. <p> Die Funktionen <em>a</em><sup>x</sup> und log<sub>a</sub><em>(x)</em> sind Umkehrfunktionen voneinander, d.h. Logarithmieren macht Potenzieren rückgängig und umgekehrt:<p> <dl><dd> und </dd></dl><pre> </pre>In den <A HREF="../../r/re/reelle_zahl.html" title="Reelle Zahl">reellen Zahlen</A> ist der Logarithmus für <A HREF="../../n/nu/null__zahl_.html" title="Null (Zahl)">Null</A> und <A HREF="../../p/po/positive_und_negative_zahlen.html" title="Positive und negative Zahlen">negative Zahlen</A> nicht definiert. <p> <strong>Begründungen:</strong> <ul><li> <em>x</em> = log<sub><em>a</em></sub>(<em>0</em>) müsste dann <em>0</em> = <em>a</em><sup>x</sup> bedeuten. Was aber nicht der Fall ist, wenn a ungleich Null ist. </li><li> (als Beispiel die negative Zahl -1) <em>x</em> = log<sub><em>a</em></sub>(<em>-1</em>) müsste dann <em>-1</em> = <em>a</em><sup>x</sup> bedeuten. Was aber nicht sein kann, wenn a größer Null ist.<p> </li></ul>In der <A HREF="../../f/fu/funktionentheorie.html" title="Funktionentheorie">Funktionentheorie</A>, in der Funktionen von <A HREF="../../k/ko/komplexe_zahl.html" title="Komplexe Zahl">komplexen Zahlen</A> betrachtet werden, kann man den Logarithmus auch für negative Zahlen definieren (siehe "Komplexer Logarithmus").<p> <p><table border="0" id="toc"><tr><td align="center"> <b>Table of contents</b> <script type='text/javascript'>showTocToggle("show","hide")</script></td></tr><tr id='tocinside'><td align="left"> <div style="margin-left:2em;"> </div> </div> <A CLASS="internal" HREF="#Der Logarithmus als Größenmaßstab">1 Der Logarithmus als Größenmaßstab</A><BR> <A CLASS="internal" HREF="#Der Logarithmus als Rechenhilfe">2 Der Logarithmus als Rechenhilfe</A><BR> <A CLASS="internal" HREF="#Natürlicher und andere spezielle Logarithmen">3 Natürlicher und andere spezielle Logarithmen</A><BR> <A CLASS="internal" HREF="#Berechnung des Logarithmus">4 Berechnung des Logarithmus</A><BR> <A CLASS="internal" HREF="#Basisumrechnung">5 Basisumrechnung</A><BR> <div style="margin-left:2em;"> <A CLASS="internal" HREF="#Beispiel">5.1 Beispiel</A><BR> </div> <A CLASS="internal" HREF="#Programmiersprachen">6 Programmiersprachen</A><BR> <A CLASS="internal" HREF="#Rechenregeln mit Beispiel">7 Rechenregeln mit Beispiel</A><BR> <A CLASS="internal" HREF="#Ableitung und Integral des Logarithmus">8 Ableitung und Integral des Logarithmus</A><BR> <A CLASS="internal" HREF="#Komplexer Logarithmus">9 Komplexer Logarithmus</A><BR> <A CLASS="internal" HREF="#Anwendungen des Logarithmus">10 Anwendungen des Logarithmus</A><BR> <A CLASS="internal" HREF="#Weblinks">11 Weblinks</A><BR> </td></tr></table><P> <A NAME="Der Logarithmus als Größenmaßstab"><H2>Der Logarithmus als Größenmaßstab</H2> Der Logarithmus einer Zahl x zu einer Basis <em>b</em> gibt in gewisser Weise an, wieviele Stellen diese Zahl hat. Beispielsweise ist <dl><dd> log<sub>10</sub>(1) = 0 weil 10<sup>0</sup> = 1 </dd><dd> log<sub>10</sub>(10) = 1 weil 10<sup>1</sup> = 10 </dd><dd> log<sub>10</sub>(100) = 2 weil 10<sup>2</sup> = 100 </dd><dd> log<sub>10</sub>(1000) = 3 weil 10<sup>3</sup> = 1000 </dd><dd> etc.<p> </dd></dl>Man nennt diesen ganzzahligen Wert auch <strong>Kennzahl</strong>. <p> <A NAME="Der Logarithmus als Rechenhilfe"><H2>Der Logarithmus als Rechenhilfe</H2> Im Normalfall tauchen beim Logarithmieren auch Nachkommastellen auf, die <strong>Mantisse</strong> genannt werden. So ist log<sub>10</sub>(3) ≈ 0,47712. Multipliziert man eine Zahl mit der Basis, ändert sich zwar die Kennzahl, nicht aber die Mantisse, es ist also log<sub>10</sub>(3*10) = log<sub>10</sub>(30) ≈ 1,47712. Bevor elektronische Rechenmaschinen zur Verfügung standen, nutzte man dies aus, um <A HREF="../../m/mu/multiplikation.html" title="Multiplikation">Multiplikationen</A> zu <A HREF="../../a/ad/addition.html" title="Addition">Additionen</A> und <A HREF="../../d/di/division__mathematik_.html" title="Division (Mathematik)">Divisionen</A> zu <A HREF="../../s/su/subtraktion.html" title="Subtraktion">Subtraktionen</A> zu vereinfachen. Als Hilfsmittel verwendete man hierzu oftmals <A HREF="../../r/re/rechenschieber.html" title="Rechenschieber">Rechenstäbe</A> (<A HREF="../../j/jo/john_napier.html" title="John Napier">John Napier</A>) oder Logarithmentafeln. Siehe dazu die ersten beiden Rechenregeln am Ende des Artikels.<p> <A NAME="Natürlicher und andere spezielle Logarithmen"><H2>Natürlicher und andere spezielle Logarithmen</H2><p> Der Logarithmus zur Basis <em>e</em> (der <A HREF="../../e/eu/eulersche_zahl.html" title="Eulersche Zahl">Eulerschen Zahl</A>) wird auch als natürlicher Logarithmus bezeichnet und mit "ln" abgekürzt: <dl><dd> Wenn <em>y</em> = <em>e</em><sup><em>x</em></sup> dann ist <em>x</em> = log<sub>e</sub>(<em>y</em>) = ln(<em>y</em>). </dd></dl>Die Zahl <em>e</em> kennzeichnet sich durch:<p> <p> Den Logarithmus zur Basis <em>e</em> nennt man den <strong>Natürlichen Logarithmus</strong> und seine Umkehrfunktion <em>e</em><sup>x</sup> die <A HREF="../../e/ex/exponentialfunktion.html" title="Exponentialfunktion">Exponentialfunktion</A>. Die Zahl <em>e</em> ist also dadurch definierbar, dass die Exponentialfunktion ihre eigene erste Ableitung ist (sich durchs Differenzieren und Integrieren nicht ändert). Der Begriff <em>Natürlicher Logarithmus</em> wurde gewählt, weil sowohl die Exponentialfunktion als auch der Logarithmus zur Basis <em>e</em> in vielen Zusammenhängen (<A HREF="../../i/in/integralrechnung.html" title="Integralrechnung">Integralrechnung</A>, <A HREF="../../d/di/differenzialrechnung.html" title="Differenzialrechnung">Differenzialrechnung</A>, <A HREF="../../k/ko/komplexe_zahl.html" title="Komplexe Zahl">Komplexe Zahlen</A>, <A HREF="../../t/tr/trigonometrie.html" title="Trigonometrie">Trigonometrie</A>) auftreten. Zudem lässt sich der natürliche Logarithmus sehr einfach <A HREF="../../i/in/integralrechnung.html" title="Integralrechnung">Integrieren</A> und <A HREF="../../d/di/differenzialrechnung.html" title="Differenzialrechnung">Differenzieren</A>.<p> Der Logarithmus zur Basis <em>10</em> wird oft mit "lg" abgekürzt; er heißt <em><A HREF="../../d/de/dekadischer_logarithmus.html" title="Dekadischer Logarithmus">dekadischer Logarithmus</A></em> oder auch <em>Briggscher Logarithmus</em>, benannt nach dem Mathematiker <A HREF="../../h/he/henry_briggs.html" title="Henry Briggs">Henry Briggs</A>.<p> Der Logarithmus zur Basis <em>2</em> - abgekürzt mit "lb" oder "ld" - heißt binärer Logarithmus, dualer oder dyadischer Logarithmus.<p> <strong>Abkürzungen</strong> <ul><li>log<sub><em>a</em></sub>: allgemeiner Logarithmus mit der beliebigen Basis <em>a</em> (Hinweis: In manchen Programmiersprachen wird mit log() der natürliche Logarithmus berechnet, manche Taschenrechner berechnen mit log den dekadischen Logarithmus) </li><li>ln = log<sub><em>e</em></sub>: Natürlicher Logarithmus zur Basis <em>e</em> </li><li>lg = log<sub><em>10</em></sub>: Logarithmus zur Basis 10 (dekadischer Logarithmus) </li><li>lb = ld = log<sub><em>2</em></sub>: Logarithmus zur Basis 2, binärer Logarithmus, dualer Logarithmus, Zweierlogarithmus<p> </li></ul><A NAME="Berechnung des Logarithmus"><H2>Berechnung des Logarithmus</H2><p> Es gibt verschiedene <A HREF="../../a/al/algorithmus.html" title="Algorithmus">Algorithmen</A>, um den Logarithmus rechnerisch näherungsweise zu bestimmen. Siehe dazu unter <A HREF="../../b/be/berechnung_des_logarithmus.html" title="Berechnung des Logarithmus">Berechnung des Logarithmus</A>.<p> <A NAME="Basisumrechnung"><H2>Basisumrechnung</H2><p> Man kann Logarithmen zu einer Basis <em>a</em> in Logarithmen zu einer anderen Basis <em>b</em> umrechen: <dl><dd> <br/>Denn: schreibe den linken Ausdruck um: (Definition des Logarithmus)<br/> </dd></dl>Tabellenwerke oder Taschenrechner stellen i.a. Logarithmen zur Basis 10 und natürliche Logarithmen zur Verfügung. Mit obiger Formel lassen sich daraus Logarithmen zu einer beliebigen Basis berechnen.<p> <A NAME="Beispiel"><H3>Beispiel</H3> <dl><dd> <p> </dd><dd> wobei <p> </dd></dl><A NAME="Programmiersprachen"><H2>Programmiersprachen</H2><p> In vielen Programmiersprachen (z.B. C, C++, BASIC) heißt die Funktion für den Natürlichen Logarithmus <em>log</em>. Dennoch ist das entsprechende Formelzeichen <em>ln</em> und nicht <em>log</em>. In FORTRAN heißt der Natürliche Logarithmus <em>alog</em>.<p> <A NAME="Rechenregeln mit Beispiel"><H2>Rechenregeln mit Beispiel</H2> Die Rechenregeln lassen sich mit Hilfe der Potenzgesetze begründen. <table border="1" cellpadding="2" cellspacing="0" ><tr > <td ><strong>Rechenregel</strong> </td><td ><strong>Beispiel</strong> </td></tr><tr > <td > </td><td > </td></tr><tr > <td > </td><td > </td></tr><tr > <td > </td><td > </td></tr><tr > <td > </td><td > </td></tr><tr > <td > </td><td > </td></tr><tr > <td > </td><td > </td></tr><tr > <td > </td><td > </td></tr></table><p> <A NAME="Ableitung und Integral des Logarithmus"><H2>Ableitung und Integral des Logarithmus</H2> Die <A HREF="../../d/di/differenzialrechnung.html" title="Differenzialrechnung">Ableitung</A> des natürlichen Logarithmus ist gegeben durch diese einfache Gleichung: <dl><dd> </dd></dl>Für allgemeine Logarithmen gilt: <dl><dd><p> </dd></dl>Das <A HREF="../../i/in/integralrechnung.html" title="Integralrechnung">unbestimmte Integral</A> des natürlichen Logarithmus erhält man mit partieller Integration: <dl><dd><p> </dd></dl><A NAME="Komplexer Logarithmus"><H2>Komplexer Logarithmus</H2> <table align="right" ><tr > <td > </td></tr><tr > <td > </td></tr><tr > <td > </td></tr></table> Analog zur reellen Definition heißt jede komplexe Zahl w mit ein natürlicher Logarithmus von z. Dies ist im Unterschied zum reellen Logarithmus jedoch nicht eindeutig, da gilt: <dl><dd> </dd></dl>Ist also ein Logarithmus von , so ist auch ein Logarithmus von z: <dl><dd><p> </dd></dl>Indem man auf einen Streifen, z.B. <dl><dd> </dd></dl>einschränkt, kann man Eindeutigkeit erreichen.<p> Dieses heißt <strong>Hautpwert des Logarithmus</strong> und man schreibt . Stellt man z in Polarkoordinaten dar, so erhält man den <strong>k-ten Zweig der Logarithmusfunktion</strong>: <dl><dd><p> </dd></dl>Für <em>k = 0</em> hat man dann den Hauptzweig des Logarithmus: <dl><dd> </dd></dl>ln(z) ist nicht stetig auf . Entfernt man jedoch die negative reelle Achse, so ist ln(z) auf stetig und sogar <A HREF="../../h/ho/holomorphie.html" title="Holomorphie">holomorph</A>.<p> Mit dem Hauptzweig des komplexen Logarithmus kann man den Logarithmus von negativen, reellen Zahlen bestimmen: <dl><dd><p> </dd></dl>Man muss jedoch beachten, dass im komplexen die Rechenregeln für Logarithmen nicht immer gelten: <dl><dd> <dl><dd>Beispiel: </dd></dl></dd><dd> <dl><dd>Beispiel: <p> </dd></dl></dd></dl><A NAME="Anwendungen des Logarithmus"><H2>Anwendungen des Logarithmus</H2> Anwendungen des Logarithmus finden sich vielfach in der <A HREF="../../w/wi/wissenschaft.html" title="Wissenschaft">Wissenschaft</A>, wenn der Wertebereich viele <A HREF="../../g/gr/gra_a_enordnung.html" title="Größenordnung">Größenordnungen</A> umfasst. Daten werden entweder direkt mit einer <A HREF="../../l/lo/logarithmische_darstellung.html" title="Logarithmische Darstellung">logarithmischen Skala</A> dargestellt, oder die Einheiten selbst, wie <ul><li> <A HREF="../../p/ph/ph_wert.html" title="PH-Wert">pH-Wert</A> (Säurewert von chemischen Lösungen) (Anmerkung: In der Chemie kann man logarithmische Skalen i.a. am vorangestellten p erkennen, z.B. beim pKs- oder pKb-Wert) </li><li> dB (<A HREF="../../d/de/dezibel.html" title="Dezibel">Dezibel</A>) z.B. Messung von Lautstärke, elektronischer Dämpfung </li><li> <A HREF="../../b/bi/bit.html" title="Bit">bit</A> = Informationseinheit = Messung der <A HREF="../../i/in/informationsmenge.html" title="Informationsmenge">Informationsmenge</A>. </li><li>In der belebten Natur finden sich zahlreiche Beispiele <A HREF="../../l/lo/logarithmische_spirale.html" title="Logarithmische Spirale">logarithmischer Spiralen</A>, so z.B das Wachstum von Schneckenhäusern oder die Anordnung der Kerne auf der <A HREF="../../s/so/sonnenblume.html" title="Sonnenblume">Sonnenblume</A>. </li><li> Die Empfindlichkeit von Sinnesorganen folgt dem logarithmischen Weber-<A HREF="../../g/gu/gustav_theodor_fechner.html" title="Gustav Theodor Fechner">Fechner</A>-Gesetz der <A HREF="../../p/ps/psychophysik.html" title="Psychophysik">Psychophysik</A>, wonach eine Vervielfachung der Reizstärke nur eine lineare Zunahme des wahrgenommenen Reizes bewirkt. </li><li> Sternhelligkeiten werden in astronomischen <A HREF="../../s/sc/scheinbare_helligkeit.html" title="Scheinbare Helligkeit">Größenklassen</A> angegeben, die ein logarithmisches Maß der tatsächlichen Strahlungsstärke darstellt. </li><li> <A HREF="../../z/ze/zeitskala.html" title="Zeitskala">Zeitskalen</A> werden vom Menschen logarithmisch wahrgenommen. Das bedeutet, dass sich - zumindest subjektiv in den letzten 100 Jahren ebensoviel ereignet hat wie in den 900 Jahren zuvor. Logarithmische Zeitskalen finden sich in der Geschichte der <A HREF="../../t/te/technologie.html" title="Technologie">Technologie</A> ebenso wie in der <A HREF="../../g/ge/geologische_zeitskala.html" title="Geologische Zeitskala">geologischen Zeitskala</A>. </li><li> Zur graphischen Darstellung von bestimmten mathematischen Funktionen werden spezielle <A HREF="../../m/ma/mathematisches_papier.html" title="Mathematisches Papier">mathematische Papiere</A> verwendet, wie z.B. <A HREF="../../e/ei/einfachlogarithmisches_papier.html" title="Einfachlogarithmisches Papier">einfachlogarithmisches Papier</A> oder <A HREF="../../d/do/doppeltlogarithmisches_papier.html" title="Doppeltlogarithmisches Papier">doppeltlogarithmisches Papier</A>.<p> </li></ul><A NAME="Weblinks"><H2>Weblinks</H2><p> <dl><dd> <A HREF="http://www.fh-kaernten.ac.at/%7Epester/scripts/Logarithmus1.htm" class="external">Logarithmusrechner mit Quelltext</A> </dd><dd> <A HREF="http://www.madeasy.de/2/log.htm" class="external">Logarithmen</A><p> </dd></dl><p> <p> <p></div><br><div id=footer><table border=0><tr><td> <small>Dies ist ein Artikel aus der freien Enzyklopädie <a href="http://de.wikipedia.org">Wikipedia</a>. Stand: August 2004. Der Artikel steht unter der <a href="http://www.gnu.org/licenses/fdl.txt">GNU Free Documentation License</a>.</small></td></tr></table></div>