Mahalanobis-Distanz
Die Mahalanobis-Distanz (benannt nach Prasanta Chandra Mahalanobis) ist ein Distanzmaß zwischen Punkten in einem mehrdimensionalen Vektorraum. Die Mahalanobis-Distanz wird speziell in der Statistik zum Beispiel im Zusammenhang mit multivariaten Verfahren verwendet.Bei multivariaten Verteilungen werden die m Koordinaten so eines Punktes als m-dimensionaler Spaltenvektor dargestellt. Man fasst ihn als Realisation eines Zufallsvektors X mit der Kovarianzmatrix Σ auf. Die Kovarianzmatrix wird durch die Matrix S berechnet oder geschätzt.
Der Abstand zweier so verteilter Punkte x und y wird dann bestimmt durch die Mahalanobis-Distanz
Graphisch bilden die Punkte gleicher Mahalanobis-Distanz von einem Zentrum im 2-dimensionalen eine gedrehte Ellipse, während es bei der Euklidischen Distanz ein Kreis ist. Die Trennflächen mit gleichem Abstand zwischen zwei Punkten können bei der Mahalanobis-Distanz beliebige Kegelschnitte sein.
Bei der Verwendung der Mahalanobis-Distanz als Abstandsklassifikator können zwei Fälle unterschieden werden:
- Die Kovarianzmatrix ist für alle Klassen gleich oder gemittelt
- Es werden unterschiedliche Kovarianzmatrizen für die einzelnen Klassen verwendet