Ordnungsrelation<meta http-equiv="Content-type" content="text/html; charset=utf-8"> <link rel="shortcut icon" href="../../favicon.ico"><link rel="stylesheet" href="../../wikistatic.css"></head> <body><div id=topbar><table width='98%' border=0><tr><td><a href="../../h/ha/hauptseite.html" title="Hauptseite">Hauptseite</a> | <b><a href="http://de.wikipedia.org/wiki/Ordnungsrelation" title="Ordnungsrelation">Aktueller Wikipedia-Artikel</a></b></td> <td align=right nowrap><form name=search class=inline method=get action="../../../search/search.html"><input name=search size=19><input type=submit value=Search></form></td></tr></table></div> <div id=article><h1>Ordnungsrelation</h1>In der <A HREF="../../m/ma/mathematik.html" title="Mathematik">Mathematik</A> sind <strong>Ordnungsrelationen</strong> Verallgemeinerungen der "kleiner-gleich"-Beziehung. Sie erlauben es, Elemente einer Menge miteinander zu vergleichen.<p> Eine Ordnungsrelation ist formal eine zweistellige <A HREF="../../r/re/relation__mathematik_.html" title="Relation (Mathematik)">Relation</A> <dl><dd> </dd></dl>auf einer <A HREF="../../m/me/mengenlehre.html" title="Mengenlehre">Menge</A> <em>M</em> mit bestimmten, unten genannten Eigenschaften.<p> Ist eine Menge <em>M</em> mit einer Ordnungsrelation <em>R</em> gegeben, dann nennt man das Paar (<em>M</em>, <em>R</em>) eine <strong>geordnete Menge</strong>. Statt <em>a R b</em> schreibt man meist (je nach Art der Ordnung) <em>a</em> ≤ <em>b</em> oder <em>a</em> < <em>b</em>.<p> Eine (totale) Ordnung auf einer Menge liefert eine bestimmte Anordnung der Elemente, z.B. die Anordnung der Buchstaben A bis Z im <A HREF="../../l/la/lateinisches_alphabet.html" title="Lateinisches Alphabet">lateinischen Alphabet</A>. Die Reihenfolge der Buchstaben ist willkürlich festgelegt, und jede andere Reihenfolge wäre ebenfalls eine Ordnung.<p> Es folgt eine Auflistung verschiedener Arten von Ordnungsrelationen mit Beispielen. Für Definitionen der Eigenschaften siehe <A HREF="../../r/re/reflexivita_t.html" title="Reflexivität">reflexiv und irreflexiv</A>, antisymmetrisch, <A HREF="../../t/tr/transitivita_t__mathematik_.html" title="Transitivität (Mathematik)">transitiv</A>, oder den Artikel <A HREF="../../r/re/relation__mathematik_.html" title="Relation (Mathematik)">Relation (Mathematik)</A>.<p> <hr> <p> <ul><li>eine <strong>Quasiordnung</strong> ist <em>reflexiv</em> und <em>transitiv</em>. <dl><dd>Bsp: Für <em>a</em>, <em>b</em> aus <A HREF="../../k/ko/komplexe_zahl.html" title="Komplexe Zahl"><strong>C</strong></A>, <em>a</em> R <em>b</em> falls |<em>a</em>| ≤ |<em>b</em>| (s. <A HREF="../../a/ab/absoluter_betrag.html" title="Absoluter Betrag">Absolutbetrag</A>).<p> </dd></dl></li><li>Eine <strong>partielle Ordnung</strong>, <strong>Halbordnung</strong>, <strong>Teilordnung</strong> oder <strong>Ordnungsrelation</strong> im engeren Sinne (englisch <A HREF="http://www.wikipedia.org/wiki/Partial_order" class="external">partial order</A>) ist <em>reflexiv</em>, <em>antisymmetrisch</em> und <em>transitiv</em>. <dl><dd>Bsp: Die <A HREF="../../m/me/mengenlehre.html" title="Mengenlehre">Teilmengenrelation</A> in einer <A HREF="../../p/po/potenzmenge.html" title="Potenzmenge">Potenzmenge</A>. Die Relation "komponentenweise kleinergleich" auf dem <A HREF="../../v/ve/vektorraum.html" title="Vektorraum">Vektorraum</A> <strong>R</strong><sup><em>n</em></sup>.<p> </dd></dl></li><li>eine <strong>strenge Halbordnung</strong> ist <em>irreflexiv</em> und <em>transitiv</em>. <dl><dd>Bsp: Die Relation "Echte Teilmenge" in einer <A HREF="../../p/po/potenzmenge.html" title="Potenzmenge">Potenzmenge</A>. Die Relation "komponentenweise kleiner, aber nicht gleich" auf dem <A HREF="../../v/ve/vektorraum.html" title="Vektorraum">Vektorraum</A> <strong>R</strong><sup><em>n</em></sup>.<br/><p> </dd></dl></li><li>eine <strong>totale</strong> oder <strong>lineare Ordnung</strong> ist eine <em>totale</em> (auch <em>linear</em> genannte) Halbordnung. <dl><dd>Bsp: "Kleinergleich" auf <A HREF="../../g/ga/ganze_zahl.html" title="Ganze Zahl"><strong>Z</strong></A>.<p> </dd></dl></li><li>eine <strong>strenge Totalordnung</strong> ist <em>trichotomisch</em>, <em>irreflexiv</em> und <em>transitiv</em>. <dl><dd>Bsp: "Kleiner" auf <strong>Z</strong>. </dd><dd>Bsp: Eine <A HREF="../../t/to/topologische_sortierung.html" title="Topologische Sortierung">topologische Sortierung</A> eines <A HREF="../../g/gr/graph__graphentheorie_.html" title="Graph (Graphentheorie)">Graphenen</A><p> </dd></dl></li><li>eine <strong><A HREF="../../w/wo/wohlordnung.html" title="Wohlordnung">Wohlordnung</A></strong> ist eine totale Ordnung, bei der jede nichtleere Teilmenge ein kleinstes Element besitzt. <dl><dd>Bsp: "Kleinergleich" auf <A HREF="../../n/na/nata_rliche_zahl.html" title="Natürliche Zahl"><strong>N</strong></A>. </dd><dd>Bsp: <A HREF="../../g/ga/ganze_zahl.html" title="Ganze Zahl"><strong>Z</strong></A> mit der Ordnung 0 < 1 < -1 < 2 < -2 < 3 < -3 < ... . </dd><dd>Das so genannte <A HREF="../../w/wo/wohlordnungssatz.html" title="Wohlordnungssatz">Wohlordnungsprinzip</A> garantiert die Existenz einer Wohlordnung für jede Menge, z.B. auch für <A HREF="../../r/re/reelle_zahl.html" title="Reelle Zahl"><strong>R</strong></A>. Wie diese Ordnungsrelation aussehen könnte ist bis heute aber unbekannt.<p> </dd></dl></li><li>eine <strong><A HREF="../../f/fu/fundierte_menge.html" title="Fundierte Menge">fundierte Ordnung</A></strong> ist eine Halbordnung, bei der jede nichtleere Teilmenge ein minimales Element besitzt. <dl><dd>Bsp: Die Relation "Gleich oder Element von" in einer Menge von Mengen.<p> </dd></dl></li></ul><strong>Beachte:</strong> Verschiedene Autoren benutzen den Begriff "Ordnung" unterschiedlich. Er kann eine <em>Halbordnung</em> oder eine <em>totale Ordnung</em> bezeichnen. Man hat also oft die Bezeichnungen <dl><dd>"Ordnung" (= Halbordnung) - "totale Ordnung" </dd></dl>oder die Bezeichnungen <dl><dd>"Halbordnung" - "Ordnung" (= totale Ordnung).<p></dd></dl></div><br><div id=footer><table border=0><tr><td> <small>Dies ist ein Artikel aus der freien Enzyklopädie <a href="http://de.wikipedia.org">Wikipedia</a>. Stand: August 2004. Der Artikel steht unter der <a href="http://www.gnu.org/licenses/fdl.txt">GNU Free Documentation License</a>.</small></td></tr></table></div>