Skalarprodukt<meta http-equiv="Content-type" content="text/html; charset=utf-8"> <link rel="shortcut icon" href="../../favicon.ico"><link rel="stylesheet" href="../../wikistatic.css"></head> <body><div id=topbar><table width='98%' border=0><tr><td><a href="../../h/ha/hauptseite.html" title="Hauptseite">Hauptseite</a> | <b><a href="http://de.wikipedia.org/wiki/Skalarprodukt" title="Skalarprodukt">Aktueller Wikipedia-Artikel</a></b></td> <td align=right nowrap><form name=search class=inline method=get action="../../../search/search.html"><input name=search size=19><input type=submit value=Search></form></td></tr></table></div> <div id=article><h1>Skalarprodukt</h1><em>Die in diesem Artikel verwendeten Symbole werden in der <A HREF="../../t/ta/tabelle_mit_mathematischen_symbolen.html" title="Tabelle mit mathematischen Symbolen">Tabelle mit mathematischen Symbolen</A> erläutert.</em><p> <em>Vektoren werden in diesem Artikel zur Unterscheidung von Skalaren einheitlich in Fettdruck dargestellt.</em><p> <hr><p> Das <strong>Skalarprodukt</strong> zweier <A HREF="../../v/ve/vektor__mathematik_.html" title="Vektor (Mathematik)">Vektoren</A> <strong>a</strong> und <strong>b</strong> ist eine <A HREF="../../r/re/reelle_zahl.html" title="Reelle Zahl">reelle Zahl</A>, die sich aus den <A HREF="../../a/ab/absoluter_betrag.html" title="Absoluter Betrag">Beträgen</A> der beiden Vektoren und dem <A HREF="../../k/ko/kosinus.html" title="Kosinus">Kosinus</A> des von diesen eingeschlossenen <A HREF="../../w/wi/winkel__geometrie_.html" title="Winkel (Geometrie)">Winkelss</A> gemäß der Formel <dl><dd> </dd></dl>berechnet.<p> Mit Hilfe des Skalarproduktes ist es möglich, die Länge eines Vektors und den Winkel zwischen zwei Vektoren zu berechnen.<p> Von einem abstrakteren Standpunkt betrachtet, ist das Skalarprodukt eine <A HREF="../../f/fu/funktion__mathematik_.html" title="Funktion (Mathematik)">Funktion</A>, die zwei Elementen eines <A HREF="../../e/eu/euklidischer_raum.html" title="Euklidischer Raum">Euklidischen Raums</A> - oder allgemeiner, eines <A HREF="../../r/re/reelle_zahl.html" title="Reelle Zahl">reellen</A> Vektorraums - eine reelle Zahl zuordnet. Eine Verallgemeinerung, die für Vektorräume über beliebigen Skalarkörpern definiert ist, heißt <strong>inneres Produkt</strong>: siehe dazu den Artikel <A HREF="../../i/in/innenproduktraum.html" title="Innenproduktraum">Innenproduktraum</A>.<p> <p><table border="0" id="toc"><tr><td align="center"> <b>Table of contents</b> <script type='text/javascript'>showTocToggle("show","hide")</script></td></tr><tr id='tocinside'><td align="left"> <div style="margin-left:2em;"> </div> </div> <A CLASS="internal" HREF="#Abgrenzung zu anderen Produkten">1 Abgrenzung zu anderen Produkten</A><BR> <A CLASS="internal" HREF="#Notation">2 Notation</A><BR> <A CLASS="internal" HREF="#Motivation: Skalarprodukt im Euklidischen Raum">3 Motivation: Skalarprodukt im Euklidischen Raum</A><BR> <A CLASS="internal" HREF="#Komponentenweise Berechnung">4 Komponentenweise Berechnung</A><BR> </td></tr></table><P> <A NAME="Abgrenzung zu anderen Produkten"><H2>Abgrenzung zu anderen Produkten</H2><p> Das Skalarprodukt ist von mehreren anderen Produkten zu unterscheiden , die in einem Vektorraum <em>V</em> über einem Körper <em>K</em> definiert sein können:<p> <ul><li>Das <em>Skalarprodukt</em> ist eine Funktion von <em>V</em>×<em>V</em> nach <em>K</em>.<p> </li><li>Das <em>äußere Produkt</em>, auch <em>skalare Multiplikation</em> genannt, das in jedem Vektorraum definiert sein muss, ist eine Funktion von <em>K</em>×<em>V</em> nach <em>V</em>.<p> </li><li>Wenn der Vektorraum die <A HREF="../../d/di/dimension__mathematik_.html" title="Dimension (Mathematik)">Dimension</A> 3 hat, kann man ferner ein <em>Vektorprodukt</em>, auch <A HREF="../../k/kr/kreuzprodukt.html" title="Kreuzprodukt">Kreuzprodukt</A> genannt, definieren, das eine Funktion von <em>V</em>×<em>V</em> nach <em>V</em> ist. (In höherdimensionalen Räumen hat man eine Verallgemeinerung des Kreuzprodukts, das dann mehr als zwei Vektoren verknüpft.)<p> </li><li>Das <A HREF="../../s/sp/spatprodukt.html" title="Spatprodukt">Spatprodukt</A> in einem dreidimensionalen Raum schließlich entsteht durch Verknüpfung von Skalar- und Vektorprodukt; es ist eine dreistellige Funktion von <em>V</em>×<em>V</em>×<em>V</em> nach <em>K</em>.<p> </li></ul><A NAME="Notation"><H2>Notation</H2><p> Das Skalarprodukt wird im deutschen Sprachraum in aller Regel mit einem Punkt als Multiplikationszeichen geschrieben: <strong>x·y</strong>.<p> Wie bei der normalen Multiplikation kann das Multiplikationszeichen auch ganz weggelassen werden, wenn keine Missverständnisse auftreten können; das ist insbesondere in Texten der Fall, in denen Vektoren durch Vektorpfeile, durch Fettdruck oder durch Unterstreichen kenntlich gemacht sind und daher nicht mit Skalaren verwechselt werden können: <dl><dd><strong>x·y</strong> = <strong>xy</strong> ist ein Skalarprodukt, </dd><dd><em>a<strong></em>x</strong> dagegen ist ein äußeres Produkt.<p> </dd></dl><A NAME="Motivation: Skalarprodukt im Euklidischen Raum"><H2>Motivation: Skalarprodukt im Euklidischen Raum</H2><p> Das Skalarprodukt ist ursprünglich im Rahmen der <A HREF="../../a/an/analytische_geometrie.html" title="Analytische Geometrie">analytischen Geometrie</A> im <A HREF="../../e/eu/euklidischer_raum.html" title="Euklidischer Raum">Euklidischen Raum</A> eingeführt worden. Um die geometrische Bedeutung des Skalarprodukts zu erklären, betrachten wir den dreidimensionalen affinen Raum mit einem kartesischen Koordinatensystem.<p> Ein Punkt <em>A</em> besitze die Koordinaten (<em>a</em><sub>1</sub>, <em>a</em><sub>2</sub>, <em>a</em><sub>3</sub>). Diese Koordinaten kann man auch als Komponenten eines Ortsvektors auffassen, der vom Ursprung <em>O</em> nach <em>A</em> zeigt. Der Abstand des Punktes <em>A</em> vom Ursprung, oder äquivalent die Länge des Vektors ist nach dem <A HREF="../../s/sa/satz_des_pythagoras.html" title="Satz des Pythagoras">Satz des Pythagoras</A> <dl><dd>. </dd></dl>Den Ausdruck unter der Wurzel fassen wir nun als skalarwertiges Produkt des Vektors mit sich selber auf: wir <em>definieren</em> also das Skalarprodukt als Summe über die Produkte der Vektorkomponenten, <dl><dd>. </dd></dl>Damit gilt für die Länge eines Vektors <dl><dd>, </dd></dl>was eine erfreuliche Analogie zum <A HREF="../../a/ab/absoluter_betrag.html" title="Absoluter Betrag">Absolutbetrag</A> einer reellen <dl><dd> </dd></dl>aufweist; tatsächlich kann man die Länge eines Vektors und den Absolutbetrag einer Zahl unter dem allgemeineren Begriff der <A HREF="../../n/no/normierter_raum.html" title="Normierter Raum">Norm</A> zusammenfassen.<p> Man rechnet leicht nach, dass das so eingeführte Skalarprodukt tatsächlich die typischen Eigenschaften einer multiplikativen Verknüpfung hat: es gelten insbesondere das Distributivgesetz und damit auch die binomischen Formeln. Wir betrachten nun ein Dreieck <em>ABC</em> im affinen Raum und finden unter Verwendung der binomischen Formel: <dl><dd>. </dd></dl>Durch Vergleich mit dem <A HREF="../../k/ko/kosinussatz.html" title="Kosinussatz">Cosinussatz</A> finden wir <dl><dd>. </dd></dl>Damit hat das Skalarprodukt eine geometrische Deutung: es ist das Produkt der Länge zweier Vektoren, gewichtet mit dem Cosinus des von diesen Vektoren eingeschlossenen Winkels. Dieser Cosinus ist ein Maß für die Parallelität der beiden Vektoren: er ist 1, wenn die Vektoren richtungsgleich sind; -1, wenn die Vektoren einander entgegengerichtet sind; und 0, wenn die Vektoren senkrecht aufeinander stehen.<p> <A NAME="Komponentenweise Berechnung"><H2>Komponentenweise Berechnung</H2><p> Ausgehend von den vorstehenden Überlegungen und Begriffsbildungen arbeitet sich die <A HREF="../../l/li/lineare_algebra.html" title="Lineare Algebra">lineare Algebra</A> zu der Erkenntnis vor, dass man jeden Vektor als <A HREF="../../l/li/linearkombination.html" title="Linearkombination">Linearkombination</A> aus orthonormalen <A HREF="../../b/ba/basis__vektorraum_.html" title="Basis (Vektorraum)">Basisvektoren</A> darstellen kann, <dl><dd><strong>x</strong> = <em>x</em><sub>1</sub><strong>e</strong><sub>1</sub> + <em>x</em><sub>2</sub><strong>e</strong><sub>2</sub> + ... </dd></dl>Daraus ergibt sich, dass man das Skalarprodukt, in Übereinstimmung mit der "naiven" Definition, koeffizientenweise ausrechnen kann: <dl><dd>, </dd></dl>wobei der Überstrich wieder für die komplexe Konjugation steht.<p> Im dreidimensionalen Euklidischen Raum berechnet man also das Skalarprodukt von zwei Spaltenvektoren zum Beispiel als <dl><dd><p> </dd></dl>Bei unendlichdimensionalen Räumen muss man zwischen einer <A HREF="../../o/or/orthonormalbasis.html" title="Orthonormalbasis">Orthonormalbasis</A> und einer <A HREF="../../b/ba/basis__vektorraum_.html" title="Basis (Vektorraum)">Basis</A> im Sinne der linearen Algebra unterscheiden, die zur Unterscheidung auch <A HREF="../../h/ha/hamelbasis.html" title="Hamelbasis">Hamelbasis</A> genannt wird.<p> <p></div><br><div id=footer><table border=0><tr><td> <small>Dies ist ein Artikel aus der freien Enzyklopädie <a href="http://de.wikipedia.org">Wikipedia</a>. Stand: August 2004. Der Artikel steht unter der <a href="http://www.gnu.org/licenses/fdl.txt">GNU Free Documentation License</a>.</small></td></tr></table></div>