Stetigkeit
Stetige Funktionen sind Funktionen mit weiter unten definierten Eigenschaften, die sich in vielen Bereichen der Physik und Mathematik als besonders nützlich herausgestellt haben.
Sie funktioniert nur bei Funktionen mit einer Veränderlichen und führt auch da mitunter zu einem falschen Ergebnis.
Definitionen
Im folgenden werden verschiedene Definitionen von Stetigkeit angegeben:"Naive" Definition von Stetigkeit
Eine Funktion ist stetig, wenn der Graph der Funktion auf ihrem Definitionsbereich "ohne Absetzen des Stiftes" gezeichnet werden kann - also die Funktionswerte keine Sprünge machen. Diese Definition von "Stetigkeit" ist mathematisch nicht exakt, wird aber gerne zur Anschauung benutzt.Stetigkeit reellwertiger Funktionen
Reellwertige Funktionen zeichnen sich dadurch aus, dass ihre Wertemenge eine Teilmenge der reellen Zahlen ist. Schränkt man den Funktionsbegriff auf die Abbildung von reellen Zahlen in den Bereich der reellen Zahlen ein (wie es i.A. in der Schule gemacht wird), so ist die Stetigkeit von f in einem Punkt , in dem f definiert ist, folgendermaßen definiert: sind in dieser Definition reelle Zahlen. Eine Abschwächung dieser Definition ist die Lipschitz-Bedingung.
Für spätere Verallgemeinerung wird im folgenden der Zusammenhang mit allgemeinen metrischen und topologischen Räumen angegeben.
Topologischen Räume sind durch so genannte offene Mengen charakterisiert.
Eine offene Menge G auf der reellen Zahlenachse ist dadurch charakterisiert, dass um jeden ihrer Punkte ein offenes Intervall existiert, das diesen Punkt enthält und das ganz in der Menge G liegt. Ein offenes Intervall wird über die euklidische Metrik d definiert:
Ein offenes Intervall um den Punkt herum ist die Menge aller reellen Zahlen x, für die kleiner als eine vorgegebene positive reelle Zahl ist.
Hierüber lassen sich dann die Eigenschaften allgemeinerer Abbildungen zwischen topologischen Räumen motivieren (das wird weiter unten definiert).
Beispiele
Im folgenden bezeichne f:R->R eine Funktion
- f(x) = sin(x) ist für alle x aus R stetig.
- f(x) = cos(x) ist für alle x aus R stetig.
- f(x) = cos(x) + sin(x) ist für alle x aus R stetig.
- f(x) = ist für alle x aus R stetig.
- f(x) = 1/x ist für x=0 nicht definiert. In der Schulmathematik sagt man dann, f wäre in der 0 unstetig, nach der exakten Definition ist der Begriff der Stetigkeit auf diese Stelle jedoch gar nicht anwendbar - f ist also weder stetig noch unstetig in der 0. f ist in seinem Definitionsbereich (R\\{0}) stetig.
- f(x) = sin(x)/cos(x) ist stetig in seinem Definitionsbereich, d.h. in allen x aus R, für die cos(x) ungleich 0 ist. Man bezeichnet f auch als tan.
- f(z) = exp(z) ist für alle z aus C stetig
Verallgemeinerung: Stetige Funktionen zwischen metrischen Räumen
Ein Funktion heißt stetig, wenn sich ihr Funktionswert genügend wenig ändert, solange man nur das Funktionsargument genügend wenig ändert. Auch dies ist nur eine Beschreibung, eine mögliche exakte Definitionen sind folgende:
Epsilon-Delta-Kriterium
Seien (X,dx), (Y,dy) metrische Räume, dann heißt
dabei bezeichnet Uδ(x0) die offene δ-Umgebung um x0, d.h.
Folgenkriterium
Seien (X,dx), (Y,dy) metrische Räume, dann gilt:
f: X → Y ist stetig in x0 ⇔ Für jede Folge (xn) aus der Definitionsmenge von f, die gegen x0 konvergiert, konvergiert f(xn) gegen f(x0).
Umgebungskriterium
Seien (X,dx), (Y,dy) metrische Räume, dann gilt:
f: X → Y ist stetig in x0 ⇔ Zu jeder Umgebung V von f(x0) gibt es eine Umgebung U von x0, sodass für alle x ∈ U ∩ X gilt: f(x) ∈ V.
Weitere Verallgemeinerung: Stetige Funktionen zwischen topologischen Räumen
Noch allgemeiner lässt sich Stetigkeit zwischen topologischen Räumen wie folgt definieren (die Stetigkeit in metrischen Räumen ist eine Folgerung dieser Definition):
Sei f eine Abbildung von dem topologischen Raum X in den topologischen Raum Y. Dann heißt f stetig, wenn das Urbild von f von jeder in Y offenen Menge U wieder offen in X ist, oder etwas formaler:
Jede stetige Funktion von einer stetigen Funktion ist wieder stetig.
Ist stetig an der Stelle , so ist die Umkehrfunktion stetig an der Stelle
Sei f eine reellwertige Funktion, die auf ihrem Definitionsbereich D(f) stetig ist, D(f) sei eine Teilmenge der reellen Zahlen, sei aus dem Definitionsbereich von f,
dann gilt für jede Folge reeller Zahlen aus D(f) die gegen konvergiert, dass die Folge der Funktionswerte gegen konvergiert.
Bemerkung: Dieser Satz gilt auch für stetige Abbildungen zwischen beliebigen metrischen Räumen.
Eine stetige Funktion nimmt auf einem abgeschlossenen Intervall ihre obere und ihre untere Grenze an.
Wichtige Sätze über stetige Funktionen
Verkettung stetiger Funktionen
Stetigkeit der Umkehrfunktion
Folgenkonvergenz stetiger reellwertiger Funktionen
verallgemeinerter Zwischenwertsatz oder Satz von Bolzano
Nimmt die auf einem abgeschlossenen Intervall stetige Funktion an zwei Stellen a und b dieses Intervalls Funktionswerte mit unterschiedlichem Vorzeichen an, so gibt es zwischen a und b mindestens eine Stelle c für die die Funktion verschwindet().Satz von Weierstraß