Trennungsaxiom
In der Topologie und verwandten Gebieten der Mathematik betrachtet man oft nicht alle topologischen Räume, sondern stellt bestimmte Bedingungen, die von den interessierenden Räumen erfüllt werden sollen. Einige dieser Bedingungen nennt man Trennungsaxiome. Sie werden nach Andrey Tychonoff manchmal auch als Tychonoff-Trennungsaxiome genannt.Die Trennungsaxiome sind Axiome in dem Sinn, dass man bei der Definition eines topologischen Raums einige dieser Bedingungen zusätzlich fordern kann, um einen stärker eingeschränkten Begriff des topologischen Raums zu erhalten. Die moderne Herangehensweise besteht darin, die Axiome des topologischen Raumes ein für alle mal zu fixieren (wie sie im Artikel topologischer Raum gegeben sind), und dann von bestimmten Arten topologischer Räume zu sprechen. Der Name "Trennungsaxiom" für diese Bedingungen hat sich aber bis heute erhalten. Viele Trennungsaxiome werden mit dem Buchstaben "T" (für "Trennung") bezeichnet.
Die genaue Bedeutung der Begriffe, die in den Trennungsaxiomen vorkommen, hat sich im Laufe der Zeit verändert. Beim Lesen älterer Literatur sollte man also darauf achten, die vom Autor verwendete Definition zu kennen.
Zur Formulierung der Trennungsaxiome benötigen wir einige Begriffe, die im folgenden definiert werden.
Die Trennungsaxiome machen Aussagen darüber, wie Punkte und Mengen mit topologischen Mitteln unterschieden werden können. Es reicht oft nicht, dass zwei Punkte eines topologischen Raums verschieden sind; mal will sie topologisch unterscheiden können. Ebenso ist es oft nicht ausreichend, dass zwei Mengen disjunkt sind; wir wollen sie (auf verschiedenste Weisen) topologisch trennen können. Alle Trennungsaxiome fordern, dass Punkte oder Mengen, die in einem bestimmten schwachen Sinne unterscheidbar sind, auch in einem stärkeren Sinne unterscheidbar sind.
Sei X ein topologischer Raum. Zwei Teilmengen A und B von X heißen getrennt, wenn jede der beiden disjunkt zur abgeschlossenen Hülle der anderen ist. Getrennte Mengen sind immer disjunkt.
Es gibt noch andere, stärkere Formen der Separiertheit von Mengen: getrennt durch Umgebungen; getrennt durch abgeschlossene Umgebungen; getrennt durch eine Funktion; scharf getrennt durch eine Funktion. All diese werden definiert und erläutert im Artikel getrennte Mengen ().
Wenn man die Terminologie von getrennten Mengen auf Punkte x und y anwendet, meint man die einelementigen Mengen {x}, {y}. Sind A und B offene disjunkte Mengen, dann sind sie durch Umgebungen getrennt: Nimm U=A und V=B als Umgebungen. Aus diesem Grund wendet man viele Trennungsaxiome speziell auf abgeschlossene Mengen an.
Zwei Punkte x und y heißen topologisch unterscheidbar, wenn sie nicht genau dieselben Umgebungen haben. Zwei topologisch unterscheidbare Punkte sind notwendig verschieden. Sind x und y getrennt (das heißt {x} und {y} sind getrennte Mengen), dann sind sie topologisch unterscheidbar.
Viele der Namen haben im Laufe der Zeit ihre Bedeutung verändert, auch haben viele dieser Konzepte mehrere Namen. In dieser Enzyklopädie werden meist noch keine dieser Namen bevorzugt, die Reihenfolge ist also willkürlich (und aus dem englischen Artikel übernommen).
Die meisten der Axiome kann man auf verschiedene Weisen mit derselben Bedeutung definieren, die hier gegebene bezieht sich zuerst auf die Separiertheits-Begriffe des vorigen Abschnitts.
Sei im folgenden X stets ein topologischer Raum.
X ist ein Kolmogoroff-Raum, wenn er das Axiom T0 erfüllt: Je zwei verschieden Punkte von X sind topologisch unterscheidbar, d.h. es gibt eine offene Menge, die einen Punkt enthält, jedoch nicht den anderen. Unter den anderen Trennungsaxiomen gibt es oft eine Variante, die T0 fordert, und eine andere, die dies nicht tut.
X ist ein R0-Raum, oder symmetrischer Raum, wenn je twei topologisch unterscheidbare Punkte getrennt sind, wenn also die abgeschlossene Hülle jedes der beiden Punkte den jeweils anderen nicht enthält.
X ist ein T1-Raum, oder hat eine Fréchet-Topologie, wenn je zwei verschiedene Punkte getrennt sind. Das Axiom T1 besteht also aus T0 und R0. Gleichbedeutend ist die Bedingung, dass jede einelementige Menge abgeschlossen ist. Zu vermeiden ist hier die Bezeichnung "Fréchet-Raum", die ein Begriff der Funktionalanalysis ist.
X ist ein präregulärer Raum, wenn er das Axiom R1 erfüllt: Je zwei topologisch unterscheidbare Punkte werden durch Umgebungen getrennt. Das Axiom R1 schließt R0 ein.
X ist ein Hausdorff-Raum, wenn er das Axiom T2 erfüllt: Je zwei verschiedene Punkte sind durch Umgebungen getrennt. Das Axiom T2 besteht also aus T0 und R1. Es schließt die Bedingung T1 ein. Gleichbedeutend ist die Bedingung, dass je zwei verschiedene Punkte disjunkte Umgebungen besitzen.
X ist ein Urysohn-Raum, wenn er das Axiom T2½ erfüllt: Je zwei verschiedene Punkte sind durch abgeschlossene Umgebungen getrennt. Das Axiom T2½ schließt T2 ein, ein Urysohn-Raum ist also hausdorffsch.
X ist ein regulärer Raum, wenn jeder Punkt x von jeder abgeschlossenen Menge F, die x nicht enthält, durch Umgebungen getrennt ist. In einem regulären Raum sind x und F sogar durch abgeschlossene Umgebungen getrennt. Jeder reguläre Raum ist präregulär, und jeder reguläre T0-Raum ist hausdorffsch.
Weitere Trennungsaxiome sind im englischen Artikel und im Topologie-Glossar zu finden.
Getrennte Mengen und topologisch unterscheidbare Punkte
Definition der Trennungsaxiome