Ultrametrik<meta http-equiv="Content-type" content="text/html; charset=utf-8"> <link rel="shortcut icon" href="../../favicon.ico"><link rel="stylesheet" href="../../wikistatic.css"></head> <body><div id=topbar><table width='98%' border=0><tr><td><a href="../../h/ha/hauptseite.html" title="Hauptseite">Hauptseite</a> | <b><a href="http://de.wikipedia.org/wiki/Ultrametrik" title="Ultrametrik">Aktueller Wikipedia-Artikel</a></b></td> <td align=right nowrap><form name=search class=inline method=get action="../../../search/search.html"><input name=search size=19><input type=submit value=Search></form></td></tr></table></div> <div id=article><h1>Ultrametrik</h1>In der <A HREF="../../a/an/analysis.html" title="Analysis">Analysis</A> bezeichnet man als <strong>Ultrametrik</strong> eine <A HREF="../../m/me/metrischer_raum.html" title="Metrischer Raum">Metrik</A> <em>d</em>: <em>S</em>×<em>S</em> <tt>-></tt> <strong>R</strong> auf einer Menge <em>S</em>, die außer den Metrik-Axiomen <ul><li> <em>d</em>(<em>a</em>,<em>b</em>) ≥ 0 </li><li> <em>d</em>(<em>a</em>,<em>b</em>) = 0 <A HREF="../../g/gd/gdw_1.html" title="Gdw">gdw</A>. <em>a</em>=<em>b</em> </li><li> <em>d</em>(<em>a</em>,<em>b</em>) = <em>d</em>(<em>b</em>,<em>a</em>) </li><li> <em>d</em>(<em>a</em>,<em>b</em>) ≤ <em>d</em>(<em>a</em>,<em>c</em>) + <em>d</em>(<em>c</em>,<em>b</em>) (<A HREF="../../d/dr/dreiecksungleichung.html" title="Dreiecksungleichung">Dreiecksungleichung</A>) </li></ul>für alle <em>a</em>,<em>b</em>,<em>c</em> aus <em>S</em> noch die '''verschärfte Dreiecksungleichung <ul><li> <em>d</em>(<em>a</em>,<em>b</em>) ≤ max{<em>d</em>(<em>a</em>,<em>c</em>), <em>d</em>(<em>c</em>,<em>b</em>)} </li></ul>erfüllt. Einen metrischen Raum mit einer Ultrametrik bezeichnet man als <strong>ultrametrischen Raum</strong>.<p> <A NAME="Beispiele"><H2>Beispiele</H2><p> Die triviale Metrik (<em>d</em>(<em>a</em>,<em>b</em>) = 1 für <em>a</em> ungleich <em>b</em>, sonst 0) auf einer nichtleeren Menge ist eine Ultrametrik.<p> Die <A HREF="../../p/p_/p_adische_zahl.html" title="P-adische Zahl">p-adische Metrik</A> auf <strong>Q</strong> und die auf dem Körper <strong>Q</strong><sub><em>p</em></sub> der <A HREF="../../p/p_/p_adische_zahl.html" title="P-adische Zahl">p-adischen Zahlen</A> ist eine Ultrametrik.<p> Ist <em>S</em> eine beliebige nichtleere Menge, dann kann man die Menge <em>S</em><sup><strong>N</strong></sup> aller <A HREF="../../f/fo/folge__mathematik_.html" title="Folge (Mathematik)">Folgen</A> in <em>S</em> zu einem metrischen Raum machen, indem man den Abstand zweier verschiedener Folgen <pre>auf den Wert setzt, wobei <em>N</em> der kleinste Index ist, für den verschieden ist von , und den Abstand einer Folge von sich selbst auf 0 setzt. Dieser metrische Raum ist dann <A HREF="../../v/vo/vollsta_ndiger_raum.html" title="Vollständiger Raum">vollständig</A> und ultrametrisch.<p> </pre><A NAME="Eigenschaften"><H2>Eigenschaften</H2><p> Jedes Dreieck ABC aus Punkten eines ultrametrischen Raums <em>S</em> ist gleichseitig oder gleichschenklig mit kürzerer Basis. <dl><dd><em>Beweis:</em> Sind <em>a</em>,<em>b</em>,<em>c</em> die Abstände der drei Eckpunkte (<em>a</em>=<em>d</em>(B,C) usw.), dann ist entweder <em>a</em>=<em>b</em>=<em>c</em> (ABC gleichseitig) oder eine Seite ist kürzer als eine andere, ohne Einschränkung nehmen wir an, dass <em>a</em><<em>b</em>. Dann kann man aus der verschärften Dreiecksungleichung folgern, dass <em>c</em>=<em>b</em> sein muss (es ist <em>a</em> < <em>b</em> ≤ max{<em>a</em>,<em>c</em>}, also <em>b</em> ≤ <em>c</em>, und <em>c</em> ≤ max{<em>a</em>,<em>b</em>}=<em>b</em>), also ist ABC dann gleichschenklig mit kürzerer Basis BC.<p> </dd></dl>Jede offene Kugel ist abgeschlossen und jede abgeschlossene Kugel ist offen.<p> Jeder Punkt in einer (offenen oder abgeschlossenen) Kugel ist Mittelpunkt dieser Kugel.<p> Zwei Kugeln sind entweder elementfremd (<A HREF="../../d/di/disjunkt__mengenlehre_.html" title="Disjunkt (Mengenlehre)">disjunkt</A>), oder eine ist ganz in der anderen enthalten.<p> Eine Folge (<em>a<sub>n</sub></em>) in <em>S</em>, in der die Abstände direkt aufeinander folgender Glieder gegen 0 konvergieren, ist eine Cauchy-Folge, <dl><dd>denn für jedes <em>e</em>>0 gibt es dann ein <em>N</em> mit <em>d</em>(<em>a<sub>n</sub></em>,<em>a<sub>n+1</sub></em>) < <em>e</em> für alle <em>n</em> ≤ <em>N</em>, und somit gilt wegen der Ultrametrik für alle <em>m</em> > <em>n</em> ≤ <em>N</em>: <em>d</em>(<em>a<sub>n</sub></em>,<em>a<sub>m</sub></em>) ≤ max{<em>d</em>(<em>a<sub>n</sub></em>,<em>a<sub>n+1</sub></em>), ..., <em>d</em>(<em>a<sub>m-1</sub></em>,<em>a<sub>m</sub></em>)} < <em>e</em>.<p> </dd></dl>In einer <A HREF="../../t/to/topologische_gruppe.html" title="Topologische Gruppe">topologischen Gruppe</A> mit einer Ultrametrik (z.B. einem ultrametrischen Körper wie <strong>Q</strong><sub><em>p</em></sub>) ist eine <A HREF="../../u/un/unendliche_reihe.html" title="Unendliche Reihe">unendliche Reihe</A> genau dann eine <A HREF="../../c/ca/cauchy_folge.html" title="Cauchy-Folge">Cauchy-Folge</A>, wenn die Summanden eine <A HREF="../../n/nu/nullfolge.html" title="Nullfolge">Nullfolge</A> bilden. Ist die Gruppe <A HREF="../../v/vo/vollsta_ndiger_raum.html" title="Vollständiger Raum">vollständig</A>, dann konvergiert die Reihe in diesem Fall.</div><br><div id=footer><table border=0><tr><td> <small>Dies ist ein Artikel aus der freien Enzyklopädie <a href="http://de.wikipedia.org">Wikipedia</a>. Stand: August 2004. Der Artikel steht unter der <a href="http://www.gnu.org/licenses/fdl.txt">GNU Free Documentation License</a>.</small></td></tr></table></div>