Zahlenbereich<meta http-equiv="Content-type" content="text/html; charset=utf-8"> <link rel="shortcut icon" href="../../favicon.ico"><link rel="stylesheet" href="../../wikistatic.css"></head> <body><div id=topbar><table width='98%' border=0><tr><td><a href="../../h/ha/hauptseite.html" title="Hauptseite">Hauptseite</a> | <b><a href="http://de.wikipedia.org/wiki/Zahlenbereich" title="Zahlenbereich">Aktueller Wikipedia-Artikel</a></b></td> <td align=right nowrap><form name=search class=inline method=get action="../../../search/search.html"><input name=search size=19><input type=submit value=Search></form></td></tr></table></div> <div id=article><h1>Zahlenbereich</h1>Ein Zahlenbereich ist eine genau definierte <A HREF="../../m/me/menge__mathematik_.html" title="Menge (Mathematik)">Menge</A> von <A HREF="../../z/za/zahl.html" title="Zahl">Zahlen</A>.<p> <ul><li><A HREF="../../n/na/nata_rliche_zahl.html" title="Natürliche Zahl">Natürliche Zahlen</A> (Symbol: )<p> </li></ul>Natürliche Zahlen sind aus dem Grundbedürfnis der Menschen erwachsen, Dinge zu zählen, d.h. die Anzahl von Elementen zu bestimmen. Unter ihnen versteht man die Menge aller positiven ganzen Zahlen. Gewöhlich wird ihnen auch noch die neutrale Zahl 0 zugerechtet, was zum Zahlenbereich N<sub>0</sub> führt. <A HREF="../../a/ad/addition.html" title="Addition">Addition</A> und <A HREF="../../m/mu/multiplikation.html" title="Multiplikation">Multiplikation</A> sind uneingeschränkt möglich.<p> Beispiele: 0, 1, 2, 3, 4, 5, 6 ...<p> <ul><li><A HREF="../../g/ga/ganze_zahl.html" title="Ganze Zahl">Ganze Zahlen</A> (Symbol: )<p> </li></ul>Die ganzen Zahlen erweitern die natürlichen Zahlen um negative ganze Zahlen. Mit ihnen ist es möglich, uneingeschränkt zu <A HREF="../../s/su/subtraktion.html" title="Subtraktion">subtrahieren</A>.<p> Beispiele: ... -3, -2, -1, 0, 1, 2, 3 ...<p> <ul><li><A HREF="../../r/ra/rationale_zahl.html" title="Rationale Zahl">Rationale Zahlen</A> (Symbol: )<p> </li></ul>Die rationalen Zahlen umfassen die Menge aller Bruchzahlen. Eine Bruchzahl ist der Quotient zweier ganzer Zahlen, wobei die Einschränkung gilt, dass der Divisor (=Nenner) nicht 0 sein darf. Mit der Erweiterung auf die rationalen Zahlen sind alle vier Grundrechenarten inklusive der <A HREF="../../d/di/division__mathematik_.html" title="Division (Mathematik)">Division</A> ausführbar.<p> Beispiele: , , 1,8<p> <ul><li><A HREF="../../r/re/reelle_zahl.html" title="Reelle Zahl">Reelle Zahlen</A> (Symbol: )<p> </li></ul>Die reellen Zahlen bilden eine Synthese aus den rationalen Zahlen und den so genannten irrationalen Zahlen - unendliche, nicht periodische und demzufolge nicht als Bruch darstellbare Zahlen. Das Ziehen der Wurzel bei positivem <A HREF="../../w/wu/wurzel__mathematik_.html" title="Wurzel (Mathematik)">Radikant</A> kann nun eindeutig durchgeführt werden.<p> Beispiele: , <A HREF="../../k/kr/kreiszahl.html" title="Kreiszahl">π</A>, <A HREF="../../e/eu/eulersche_zahl.html" title="Eulersche Zahl">e</A><p> <ul><li><A HREF="../../k/ko/komplexe_zahl.html" title="Komplexe Zahl">Komplexe Zahlen</A> (Symbol: )<p> </li></ul>Trotz der Erweiterung auf die reellen Zahlen ist es noch nicht möglich, alle Gleichungen zu lösen. So lässt sich die Gleichung x<sup>2</sup> = -1 nach wie vor nicht lösen, da das Quadrat reeller Zahlen stets positiv ist. Um diesem Problem entgegenzuwirken, war eine neuerliche Erweiterung des Zahlenbereichs auf die komplexen Zahlen notwendig. Deren Grundlage ist die Einführung einer imaginären Zahl i, deren Quadrat -1 ergibt ( = -1). Komplexe Zahlen bestehen aus einem reellen und einem imaginären Teil.<p> Beispiele: 15 + 3i, 4 - 5i<p> <ul><li> <A HREF="../../q/qu/quaternionen.html" title="Quaternionen">Quaternionen</A>, Hyperkomplexe oder Hamilton-Zahlen (Symbol: )<p> </li></ul>Diese Zahlen, die durch die Elemente des Quaternionenrings dargestellt werden, sind die Erweiterung der komplexen Zahlen. Sie bilden in ihrer algebraischen Struktur nur einen <A HREF="../../s/sc/schiefka_rper.html" title="Schiefkörper">Schiefkörper</A>, da sie nicht <A HREF="../../k/ko/kommutativ.html" title="Kommutativ">kommutativ</A> sind. Ihre Darstellung erfolgt in Form von drei Imaginärteilen.<p> Beispiele: 5 + 3i + 9j + 4k, -8 + 6i - 3j + 9k <p> <ul><li> <A HREF="../../o/ok/oktave__mathematik_.html" title="Oktave (Mathematik)">Oktaven</A> oder Cayley-Zahlen (Symbol: )<p> </li></ul>Die Oktaven stellen eine achtdimensionale Erweiterung der reellen Zahlen (ein zweidimensionales Element des Quaternionenrings) dar. Sie sind nicht immer <A HREF="../../a/as/assoziativ.html" title="Assoziativ">assoziativ</A> (alternatives System), aber der höchstdimensionale Zahlenbereich, in dem reelle Algebra (gekennzeichnet durch eindeutig ausführbare Division) möglich ist, sie bilden eine <A HREF="../../d/di/divisionsalgebra.html" title="Divisionsalgebra">Divisionsalgebra</A>.<p> Beispiele: 7 + 8i + 3j - 12k + 4E - 8I - 9J + 12K<p> Wenn wir uns einen Überblick über die Zahlenbereiche von den natürlichen Zahlen bis zu den Oktaven verschaffen, stellen wir folgende allgemeingültige Beziehung zwischen den einzelnen Bereichen fest: <p> <ul><li>Sedenionen (Symbol: )<p> </li></ul>Die Sedenionen sind ein Zahlenbereich mit 16 Dimensionen. Sie fallen jedoch aus dem normalen Rahmen, da sie keine reelle Algebra mehr zulassen. Es gelten weder Kommutativ- noch Assoziativgesetz, statt dessen besitzen sie so genannte Null-Divisoren.<p> Es gibt Gründe zu denken, daß man "Zahlen" außerhalb nicht suchen sollte:<p> (1) Die erwähnten Systeme und sind nicht Körper. Im gewöhnlichen Rechnen haben wir uns an es gewöhnt, die Rechenregeln des Körpers zu verwenden und fordern. Es gibt doch für die Körper der rationalen Zahlen auch Körpererweiterungen in anderen Richtungen als in die reellen und komplexen Zahlen, nämlich in die Körper der <A HREF="../../p/p_/p_adische_zahl.html" title="P-adische Zahl"><em>p</em>-adischen Zahlen</A> und dessen algebraischen Ergänzungen.<p> (2) Das Theorem von Gelfand-Tornheim (<A HREF="http://planetmath.org/encyclopedia/GelfandTornheimTheorem.html" class="external">http://planetmath.org/encyclopedia/GelfandTornheimTheorem.html</A> ) sagt, daß die einzigen wesentlichen <strong>normierten Körper</strong> und sind. Es erzeugt als Korollar, daß der absolute Betrag nur in den Unterkörpern von definiert ist.<p> <p> <ul><li>Sonstige Zahlenbereiche<p> </li></ul><table border="0" ><tr> <th align="left" width="55%" > Bezeichnung </th><th align="left" width="15%" > Symbol </th><th align="left" width="30%" > Definition </td></tr><tr ---- > <td > natürliche Zahlen ab <em>k</em> </td><td > <strong>N<sub>k</sub></strong> </td><td height="20px" > {<em>k</em>, <em>k</em>+1, <em>k</em>+2, ...} </td></tr><tr ---- > <td > natürliche Zahlen zwischen <em>u</em> und <em>o</em> </td><td > <strong>N<sub>u</sub><sup>o</sup></strong> </td><td height="25px" > {<em>u</em>, <em>u</em>+1, <em>u</em>+2, ..., o} </td></tr><tr ---- > <td > gerade Zahlen </td><td > <strong>G</strong> </td><td height="20px" > {-4, -2, 0, 2, 4, ...} </td></tr><tr ---- > <td > positive gerade Zahlen </td><td > <strong>G<sub>+</sub></strong> </td><td height="20px" > {0, 2, 4, ...} </td></tr><tr ---- > <td > negative gerade Zahlen </td><td > <strong>G<sub>-</sub></strong> </td><td height="20px" > {-2, -4, ...} </td></tr><tr ---- > <td > ungerade Zahlen </td><td > <strong>U</strong> </td><td height="20px" > {-5, -3, -1, 1, 3, 5, ...} </td></tr><tr ---- > <td > positive ungerade Zahlen </td><td > <strong>U<sub>+</sub></strong> </td><td height="20px" > {1, 3, 5, ...} </td></tr><tr ---- > <td > negative ungerade Zahlen </td><td > <strong>U<sub>-</sub></strong> </td><td height="20px" > {-1, -3, -5, ...} </td></tr><tr ---- > <td > Primzahlen </td><td > <strong>P</strong> </td><td height="20px" > {2, 3, 5, 7, 11, ...} </td></tr><tr ---- > <td > hyperreelle Zahlen </td><td > <strong>*R</strong> </td><td height="20px" > </td></tr><tr ---- > <td > surreale Zahlen </td><td > <strong>Sω</strong> </td><td height="20px" > </td></tr><tr ---- > </table><p></div><br><div id=footer><table border=0><tr><td> <small>Dies ist ein Artikel aus der freien Enzyklopädie <a href="http://de.wikipedia.org">Wikipedia</a>. Stand: August 2004. Der Artikel steht unter der <a href="http://www.gnu.org/licenses/fdl.txt">GNU Free Documentation License</a>.</small></td></tr></table></div>