Heisenbergsche Unschärferelation
In der Quantenphysik besagt die Heisenbergsche Unschärferelation oder Unbestimmtheitsrelation, dass der Ort x und der Impuls p eines Teilchenss nicht gleichzeitig beliebig genau bestimmt werden können. Sie wurde 1927 von Werner Heisenberg entdeckt. Danach gilt für die Ortsunschärfe und die Impulsunschärfe stets
Die Unbestimmheitsrelation bezüglich Ort und Impuls ist eine unmittelbare Konsequenz der Wellennatur der Materie in der Quantenphysik und damit eines der fundamentalen Gesetze der Physik. Sie wird oft irrtümlich damit erklärt, dass eine Messung des Ortes eines Teilchens notwendigerweise seinen Impuls stört. Heisenberg selbst hatte diese Erklärung zuerst gegeben. Die Unbestimmheitsrelation gilt jedoch sogar dann, wenn nach der Messung des Ortes die Messung des Impulses an einer Kopie des Systems erfolgt (siehe Ensembleinterpretation unten). Ähnliche Unschärfebeziehungen gibt es auch zwischen Energie und Zeit und anderen Paaren von physikalischen Größen (siehe allgemeine Unschärferelation unten).
Folgende Analogie verdeutlicht die Unbestimmheit: Nehmen Sie an,
dass Sie ein zeitveränderliches Signal, z. B. eine Schallwelle haben
und Sie die genaue Frequenz dieses Signals zu einem bestimmten Zeitpunkt messen wollen. Das ist unmöglich, denn um die Frequenz
exakt zu ermitteln, müssen Sie das Signal über eine gewisse Zeitspanne beobachten und dadurch verlieren Sie Zeitpräzision. Das heißt, ein Ton kann nicht zu nur einer bestimmten Zeit da sein, wie etwa ein kurzer Impuls, und gleichzeitig eine exakte Frequenz besitzen, wie etwa ein ununterbrochener reiner Ton sie hat. Der Zeitpunkt und die Frequenz der Welle sind analog zu betrachten zum Ort und Impuls eines Teilchens.
Die Unbestimmtheitsrelation wird oft verwechselt mit einem anderen quantenmechanischen Phänomen, dem Zusammenbruch der Wellenfunktion, nach dem die Wellenfunktion, die ein Teilchen beschreibt, sich genau dann verändert, wenn dieses Teilchen beobachtet wird. Dieses Phänomen und die Unbestimmtheitsrelation sind verschieden, aber miteinander verwandt.
Im Rahmen des mathematischen Formalismus ergeben sich die Wahrscheinlichkeitsverteilungen für Orts- und Impulsmessungen und damit die Unschärfen aus den zugehörigen Wellenfunktionen. Die Unschärferelation folgt dann aus dem Umstand, dass die Wellenfunktionen bezüglich Ort und Impuls über eine Fouriertransformation miteinander verknüpft sind. Die Fouriertransformierte eines lokal begrenzten Wellenpakets ist nun wiederum ein Wellenpaket, wobei das Produkt der Paketbreiten einer Beziehung gehorcht, die der obigen Unschärferelation entspricht.
Die Heisenbergsche Unschärferelation gibt es in unterschiedlichen Interpretationen. Man unterscheidet die Ensembleinterpretation, die
eine Aussage über ein ganzes System macht, ein so genanntes
Ensemble und die Kopenhagener Interpretation, die ein
einzelnes Teilchen beschreibt.
Der große Unterschied zu den bisherigen beiden Interpretationen ist, dass die Ensembleinterpretation nicht wie bei Bohr oder Heisenberg Aussagen für ein Teilchen macht, sondern Wahrscheinlichkeitsaussagen für eine große Anzahl von Experimenten; allerdings mit — das ist die Voraussetzung — identischen Teilchen.
Ein Ensemble ist die Gesamtheit aller identischen Teilchen, die ein Präparationsverfahren ergibt, die in dem Experiment allerdings nicht miteinander wechselwirken dürfen, analog zu Photonen im Doppelspaltexperiment.
Aussagen über ein Experiment sind in folgender Weise möglich: Das Ensemble wird halbiert, um an einem Teil des Ensembles eine Eigenschaft zu messen, etwa den Ort, x, und an dem anderen Teil des Ensembles eine andere Eigenschaft zu messen, etwa den Querimpuls, px. Mit den vielen Messwerten einer Eigenschaft, die man erhält, kann man nun Statistik betreiben. Man kann den Mittelwert der Messwerte bestimmen und auch die Standardabweichung, die als Größe für die mittlere Abweichung zu verstehen ist und auf dem Mittelwert aufbaut. Die Standardabweichung der Orte wird dann dargestellt als Δx. Dadurch kann die Heisenbergsche Unschärferelation folgendermaßen formuliert werden:
Die Heisenbergsche Unschärferelation besagt in der Ensembleinterpretation, dass es nicht möglich ist, ein Ensemble in einem Zustand so zu präparieren, dass
Das Interessante an der Ensembleinterpretation ist, dass mit dieser Interpretation die Heisenbergsche Unschärferelation klar formuliert ist. Außerdem wird diese Interpretation wissenschaftlich anerkannt und gilt als Minimaltheorie, der die meisten Wissenschaftler zustimmen können. Zudem gelingt eine Verbindung von Theorie und Experiment. Schließlich sind Δx und Δpx klar und relativ einfach über die Standardabweichung definiert.
Die Kopenhagener Interpretation war allerdings die erste abgeschlossene und in
sich konsistente Interpretation des mathematischen Gebäudes der
Quantenmechanik. Sie führte zu stärkeren philosophischen Diskussionen. Das Grundkonzept baut auf folgenden drei Prinzipien
auf:
Unschärfebeziehungen gibt es auch zwischen Energie und Zeit, Drehimpuls und Winkel, Phase und Teilchenzahl und zwischen vielen anderen Paaren von physikalischen Größen. Mit den Rechenmethoden der Quantenmechanik kann man für zwei Größen A und B allgemein formulieren:
Die heisenbergsche Unbestimmtheitsrelation zeigt sich in der Natur unter anderem im Tunneleffekt und in den Vakuumfluktuation.
Die Unbestimmtheit ist ein typisches Wellenphänomen, das auch in der klassischen Physik auftritt.
Beispielsweise lassen sich nicht gleichzeitig die Frequenz und die Ankunftszeit einer Welle exakt bestimmen.
(Die Frequenz hängt in der Quantenphysik mit der Energie zusammen).
Um die Frequenz exakt zu bestimmen, müsste man mehrere Wellenberge abwarten. Dann ist aber die Ankunftszeit nicht mehr bestimmt.
Überblick
Interpretationen
Die Ensembleinterpretation
Formulierung der Heisenbergschen Unschärferelation in der Ensembleinterpretation
für das ganze Ensemble erfüllt ist.Vorteile der Ensembleinterpretation
Die Kopenhagener Interpretation
Die feinen Unterschiede der weitgehend recht ähnlichen Ansichten von Bohr und Heisenberg, die beide die wesentlichen Begründer der Kopenhagener Interpretation waren, werden deutlich, indem man die Begriffe der objektiven und subjektiven Eigenschaften eines Quantenobjektes ihren Vertretern Bohr, bzw. Heisenberg zuordnet.Allgemeine Unschärferelation
Dabei gilt:
Grob formuliert: Das Produkt der A-Unschärfe und der B-Unschärfe ist mindestens halb so groß wie der Betrag des Erwartungswertes des Kommutatorss von A und B. Im Allgemeinen ist also die Mindestgröße des Unschärfeproduktes vom quantenmechanischen Zustand abhängig.Beispiele
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