Oktave (Mathematik)<meta http-equiv="Content-type" content="text/html; charset=utf-8"> <link rel="shortcut icon" href="../../favicon.ico"><link rel="stylesheet" href="../../wikistatic.css"></head> <body><div id=topbar><table width='98%' border=0><tr><td><a href="../../h/ha/hauptseite.html" title="Hauptseite">Hauptseite</a> | <b><a href="http://de.wikipedia.org/wiki/Oktave_(Mathematik)" title="Oktave (Mathematik)">Aktueller Wikipedia-Artikel</a></b></td> <td align=right nowrap><form name=search class=inline method=get action="../../../search/search.html"><input name=search size=19><input type=submit value=Search></form></td></tr></table></div> <div id=article><h1>Oktave (Mathematik)</h1><p> Die <strong>Oktaven</strong> auch <strong>Oktonionen</strong> oder <strong>Cayleyzahlen</strong> sind eine Verallgemeinerung der <A HREF="../../q/qu/quaternionen.html" title="Quaternionen">Quaternionen</A> und besitzen das Mengensymbol .<p> Jede Oktave kann dargestellt werden ... <dl><dd> ... als 8er-<A HREF="../../t/tu/tupel.html" title="Tupel">Tupel</A> von <A HREF="../../r/re/reelle_zahl.html" title="Reelle Zahl">reellen Zahlen</A>: ( r1 , r2 , ... , r8 ) </dd><dd> ... als 4er-Tupel von <A HREF="../../k/ko/komplexe_zahl.html" title="Komplexe Zahl">komplexen Zahlen</A>: ( c1 , c2 , c3 , c4 ) </dd><dd> ... als geordnetes Paar von <A HREF="../../q/qu/quaternionen.html" title="Quaternionen">Quaternionen</A>: ( h1 , h2 )<p> </dd></dl>Der <A HREF="../../k/ka/ka_rper__mathematik_.html" title="Körper (Mathematik)">Körper</A> der reellen Zahlen kann als Unterstruktur von betrachtet werden: <dl><dd> Für alle Zahlen r aus gilt: r entspricht ( r , 0 , ... , 0 )<p> </dd></dl>Der Körper der komplexen Zahlen kann als Unterstruktur von betrachtet werden: <dl><dd> Für alle Zahlen c aus gilt: c entspricht ( c , 0 , 0 , 0 )<p> </dd></dl>Der <A HREF="../../s/sc/schiefka_rper.html" title="Schiefkörper">Schiefkörper</A> der Quaternionen kann als Unterstruktur von betrachtet werden: <dl><dd> Für alle Zahlen h aus gilt: h entspricht ( h , 0 )<p> </dd></dl>Für die Oktaven sind <A HREF="../../a/ad/addition.html" title="Addition">Addition</A> und <A HREF="../../m/mu/multiplikation.html" title="Multiplikation">Multiplikation</A> so definiert, dass sie abwärtskompatibel sind, das heißt ... <dl><dd> ... für alle reellen Zahlen r und s gilt: <dl><dd> r + s = ( r , 0 , ... , 0 ) + ( s , 0 , ... , 0 ) </dd><dd> r · s = ( r , 0 , ... , 0 ) · ( s , 0 , ... , 0 ) </dd></dl></dd><dd> ... für alle komplexen Zahlen c und d gilt: <dl><dd> c + d = ( c , 0 , 0 , 0 ) + ( d , 0 , 0 , 0 ) </dd><dd> c · d = ( c , 0 , 0 , 0 ) · ( d , 0 , 0 , 0 ) </dd></dl></dd><dd> ... für alle Quaternionen h und i gilt: <dl><dd> h + i = ( h , 0 ) + ( i , 0 ) </dd><dd> h · i = ( h , 0 ) · ( i , 0 )<p> </dd></dl></dd></dl>Die Oktaven bilden mit der definierten Addition und Multiplikation eine <A HREF="../../d/di/divisionsalgebra.html" title="Divisionsalgebra">Divisionsalgebra</A>, jedoch keinen Schiefkörper (und damit auch keinen Körper). Die beiden folgenden Regeln sind daher für Oktaven <strong>nicht</strong> allgemeingültig:<p> <dl><dd> <A HREF="../../k/ko/kommutativgesetz.html" title="Kommutativgesetz">Kommutativgesetz</A> der Multiplikation: o · p = p · o </dd><dd> <A HREF="../../a/as/assoziativgesetz.html" title="Assoziativgesetz">Assoziativgesetz</A> der Multiplikation: o · ( p · q ) = ( o · p ) · q </dd></dl>Es gilt jedoch für alle Oktaven o und p das schwache Assoziativgesetz: <dl><dd> o · ( o · p ) = ( o · o ) · p und o · ( p · p ) = ( o · p ) · p<p> </dd></dl><A NAME="Verwandte Themen"><H2>Verwandte Themen</H2><p> <ul><li> <A HREF="../../z/za/zahlenbereich.html" title="Zahlenbereich">Zahlenbereiche</A> </li><li> <A HREF="../../g/ga/ganze_zahl.html" title="Ganze Zahl">Ganze Zahlen</A> </li><li> <A HREF="../../r/ra/rationale_zahl.html" title="Rationale Zahl">Rationale Zahlen</A> </li><li> <A HREF="../../r/re/reelle_zahl.html" title="Reelle Zahl">Reelle Zahlen</A> </li><li> <A HREF="../../k/ko/komplexe_zahl.html" title="Komplexe Zahl">Komplexe Zahlen</A> </li><li> <A HREF="../../q/qu/quaternionen.html" title="Quaternionen">Quaternionen</A><p></li></ul></div><br><div id=footer><table border=0><tr><td> <small>Dies ist ein Artikel aus der freien Enzyklopädie <a href="http://de.wikipedia.org">Wikipedia</a>. Stand: August 2004. Der Artikel steht unter der <a href="http://www.gnu.org/licenses/fdl.txt">GNU Free Documentation License</a>.</small></td></tr></table></div>