Vektor (Mathematik)<meta http-equiv="Content-type" content="text/html; charset=utf-8"> <link rel="shortcut icon" href="../../favicon.ico"><link rel="stylesheet" href="../../wikistatic.css"></head> <body><div id=topbar><table width='98%' border=0><tr><td><a href="../../h/ha/hauptseite.html" title="Hauptseite">Hauptseite</a> | <b><a href="http://de.wikipedia.org/wiki/Vektor_(Mathematik)" title="Vektor (Mathematik)">Aktueller Wikipedia-Artikel</a></b></td> <td align=right nowrap><form name=search class=inline method=get action="../../../search/search.html"><input name=search size=19><input type=submit value=Search></form></td></tr></table></div> <div id=article><h1>Vektor (Mathematik)</h1>In der <A HREF="../../g/ge/geometrie.html" title="Geometrie">Geometrie</A> ist ein <strong>Vektor</strong> eine <A HREF="../../a/a_/a_quivalenzklasse.html" title="Äquivalenzklasse">Klasse</A> von <A HREF="../../p/pf/pfeil__symbol_.html" title="Pfeil (Symbol)">Pfeilen</A> gleicher <A HREF="../../l/la/la_nge.html" title="Länge">Länge</A> (<A HREF="../../a/ab/absoluter_betrag.html" title="Absoluter Betrag">Betrag</A>) und gleicher <A HREF="../../r/ri/richtung.html" title="Richtung">Richtung</A>.<p> <center></center><p> Um beispielsweise das Dreieck ABC in der Figur an die Position A'B'C' zu verschieben, muss jeder Punkt um 7 Einheiten nach rechts und 3 nach oben verschoben werden. Er bewegt sich dabei längs eines Pfeils . Da diese Pfeile in Länge und Richtung alle übereinstimmen, fasst man sie zu einer Klasse (Vektorklasse) zusammen, die man ebenfalls kurz mit bezeichnet. Jeder Pfeil ist ein Repräsentant dieser Klasse. Man beschreibt die Klasse durch die Verschiebung, die ihre Pfeile bewirken, im Beispiel:<p> <dl><dd><dl><dd> ,<p> </dd></dl></dd></dl>im dreidimensionalen Raum entsprechend mit 3 Koordinaten, siehe weiter unten.<p> Allgemeiner ist in der <A HREF="../../l/li/lineare_algebra.html" title="Lineare Algebra">linearen Algebra</A> ein Vektor als <A HREF="../../e/el/element__mathematik_.html" title="Element (Mathematik)">Element</A> eines Vektorraumes definiert. Dies ist eine viel umfassendere Definition, die neben den "herkömmlichen", geometrischen Vektoren verschiedenste mathematische Objekte (<A HREF="../../z/za/zahl.html" title="Zahl">Zahlen</A>, <A HREF="../../f/fo/folge__mathematik_.html" title="Folge (Mathematik)">Folgen</A>, <A HREF="../../f/fu/funktion__mathematik_.html" title="Funktion (Mathematik)">Funktionen</A> und Transformationen) beinhaltet. Demnach ist auch jeder <A HREF="../../t/te/tensor.html" title="Tensor">Tensor</A> ein Vektor, obwohl man per Konvention zweidimensionale Vektoren als <A HREF="../../m/ma/matrix__mathematik_.html" title="Matrix (Mathematik)">Matrix</A> und mehrdimensionale Vektoren als Tensoren bezeichnet.<p> In der <A HREF="../../d/di/differentialgeometrie.html" title="Differentialgeometrie">Differentialgeometrie</A>, der <A HREF="../../p/ph/physik.html" title="Physik">Physik</A> und der <A HREF="../../t/te/technik.html" title="Technik">Technik</A> bezieht sich der Ausdruck <em>Vektor</em> normalerweise auf einen geometrischen Vektor des <A HREF="../../e/eu/euklidischer_raum.html" title="Euklidischer Raum">euklidischen Raumes</A>, der durch einen Betrag und eine Richtung geben ist. Beispiele sind <A HREF="../../g/ge/geschwindigkeit.html" title="Geschwindigkeit">Geschwindigkeit</A>, <A HREF="../../i/im/impuls.html" title="Impuls">Impuls</A>, <A HREF="../../k/kr/kraft.html" title="Kraft">Kraft</A>, <A HREF="../../m/mo/moment__physik_.html" title="Moment (Physik)">Moment</A> und <A HREF="../../b/be/beschleunigte_bewegung.html" title="Beschleunigte Bewegung">Beschleunigung</A>. Nach dieser Definition ist ein Vektor ein <A HREF="../../t/te/tensor.html" title="Tensor">Tensor</A> erster Stufe. Alle folgenden Betrachtungen beziehen sich auf solche Vektoren, allgemeine Eigenschaften finden sich unter <A HREF="../../v/ve/vektorraum.html" title="Vektorraum">Vektorraum</A><p> Vektoren kann man <strong><A HREF="../../s/sk/skalar__mathematik_.html" title="Skalar (Mathematik)">skalare</A></strong> Größen wie <A HREF="../../a/ab/abstand.html" title="Abstand">Abstand</A>, <A HREF="../../e/en/energie.html" title="Energie">Energie</A>, <A HREF="../../z/ze/zeit.html" title="Zeit">Zeit</A>, <A HREF="../../t/te/temperatur.html" title="Temperatur">Temperatur</A>, <A HREF="../../l/la/ladung.html" title="Ladung">Ladung</A>, <A HREF="../../l/le/leistung.html" title="Leistung">Leistung</A>, <A HREF="../../a/ar/arbeit__physik_.html" title="Arbeit (Physik)">Arbeit</A> und <A HREF="../../m/ma/masse.html" title="Masse">Masse</A> gegenüberstellen, die zwar einen Betrag, aber keine Richtung haben.<p> Vektoren sind nomalerweise ungebunden, das heißt, sie haben keinen fixen Ausgangspunkt. Ein Vektor kann daher als die <A HREF="../../m/me/mengenlehre.html" title="Mengenlehre">Menge</A> aller "Pfeile", die <A HREF="../../p/pa/parallelita_t.html" title="Parallelität">parallel</A>, gleich lang und gleich orientiert sind, angesehen werden.<p> Im Unterschied dazu haben gebundene Vektoren einen Ausgangspunkt. Sie können zum Beispiel, als so genannte Ortsvektoren, die Position eines Punktes im Raum angeben. Kräfte, die auf Starrkörper wirken, sind teilweise gebunden. Sie wirken entlang einer bestimmten Geraden. Es ist egal, an welchem Punkt der Geraden sie angreifen. Man nennt sie "linienflüchtige" Vektoren.<p> Ein Vektor mit der Länge 1 heißt <em>Einheitsvektor</em>.<p> <p><table border="0" id="toc"><tr><td align="center"> <b>Table of contents</b> <script type='text/javascript'>showTocToggle("show","hide")</script></td></tr><tr id='tocinside'><td align="left"> <div style="margin-left:2em;"> </div> </div> <A CLASS="internal" HREF="#Darstellungsformen">1 Darstellungsformen</A><BR> <A CLASS="internal" HREF="#Rechenoperationen">2 Rechenoperationen</A><BR> <div style="margin-left:2em;"> <A CLASS="internal" HREF="#Winkel zwischen zwei Vektoren">2.1 Winkel zwischen zwei Vektoren</A><BR> <A CLASS="internal" HREF="#Addition und Subtraktion">2.2 Addition und Subtraktion</A><BR> <A CLASS="internal" HREF="#Multiplikation mit einem Skalar">2.3 Multiplikation mit einem Skalar</A><BR> <A CLASS="internal" HREF="#Skalarprodukt">2.4 Skalarprodukt</A><BR> <A CLASS="internal" HREF="#Kreuzprodukt">2.5 Kreuzprodukt</A><BR> </td></tr></table><P> <A NAME="Darstellungsformen"><H2>Darstellungsformen</H2><p> Variablen, die für Vektoren stehen, werden normalerweise mit einem Pfeil gekennzeichnet () oder fett geschrieben (<strong>a</strong>). (<em>Anmerkung: In diesem Artikel wird durchgängig die Pfeilschreibweise verwendet, in anderen Wikipedia-Artikeln kommt aber auch der Fettdruck vor.</em>) Ist der Betrag, also die <A HREF="../../l/la/la_nge.html" title="Länge">Länge</A>, des Vektors gemeint, wird der Vektor mit zwei senkrechten <A HREF="../../a/ab/absoluter_betrag.html" title="Absoluter Betrag">Betragsstrichenstrichen</A> eingeklammert: <p> Grafisch werden Vektoren normalerweise als <A HREF="../../p/pf/pfeil__symbol_.html" title="Pfeil (Symbol)">Pfeilee</A> dargestellt:<p> <center></center><p> <em>A</em> wird in diesem Fall als Schaft, Ausgangs- oder Startpunkt und <em>B</em> als Spitze oder Endpunkt des Vektors bezeichnet. Die Richtung des Pfeiles gibt die Richtung des Vektors an und die Länge seinen Betrag. Dieser Vektor kann auch als bezeichnet werden und sein Betrag als bzw. . Dabei ist zu beachten, dass der Vektor nicht an die Punkte <em>A</em> und <em>B</em> gebunden ist, sondern, dass diese ihn nur definieren.<p> Um mit Vektoren sinnvoll rechnen zu können, ist die grafische Notation natürlich unpraktisch. In einem <em>n</em>-<A HREF="../../d/di/dimension__mathematik_.html" title="Dimension (Mathematik)">dimensionalem</A> Euklidischen Raum können Vektoren als <A HREF="../../l/li/linearkombination.html" title="Linearkombination">Linearkombination</A> von <em>n</em> Basisvektoren dieses Raumes dargestellt werden. Im <A HREF="../../k/ka/kartesisches_koordinatensystem.html" title="Kartesisches Koordinatensystem">kartesischen Koordinatensystem</A> nimmt man dafür <em>n</em> paarweise aufeinander <A HREF="../../n/no/normal.html" title="Normal">normal</A> stehende Einheitsvektoren. <p> Als Beispiel für diesen Artikel soll immer der dreidimensionale Vektorraum <strong>R</strong>³ mit einem kartesischen Koordinatensystem dienen. Sind , und die Einheitsvektoren in Richtung der x-, y- bzw. z-Achse, kann jeder Vektor als <p> <dl><dd> <p> </dd></dl>angeschrieben werden. Die <A HREF="../../r/re/reelle_zahl.html" title="Reelle Zahl">reellen Zahlen</A> <em>a</em><sub>1</sub>, <em>a</em><sub>2</sub> und <em>a</em><sub>3</sub> sind eindeutig durch festgelegt. Oft schreibt man Vektoren auch kurz als 3x1- oder 1x3-<A HREF="../../m/ma/matrix.html" title="Matrix">Matrix</A>: <dl><dd> </dd></dl>Mit dieser Schreibweise ist zwar die Wahl des Koordinatensystems nicht festgehalten, falls nicht anderes angegeben ist aber immer das kartesische Koordinatensystem gemeint, da es für viele Rechnungen am einfachsten ist.<p> Man kann dann die Koordinaten eines Vektor auch so darstellen:<p> <dl><dd> <p> </dd></dl> Aus dem <A HREF="../../s/sa/satz_des_pythagoras.html" title="Satz des Pythagoras">Satz von Pythagoras</A> folgt, dass der Betrag des Vektors folgendermaßen berechnet werden kann: <dl><dd><p> </dd></dl><A NAME="Rechenoperationen"><H2>Rechenoperationen</H2><p> <A NAME="Winkel zwischen zwei Vektoren"><H3>Winkel zwischen zwei Vektoren</H3><p> Der <A HREF="../../w/wi/winkel.html" title="Winkel">Winkel</A> zwischen zwei Vektoren und kann mit folgender Formel berechnet werden: <pre><p> </pre><A NAME="Addition und Subtraktion"><H3><A HREF="../../a/ad/addition.html" title="Addition">Addition</A> und <A HREF="../../s/su/subtraktion.html" title="Subtraktion">Subtraktion</A></H3><p> Die <A HREF="../../s/su/summe.html" title="Summe">Summe</A> der beiden Vektoren <dl><dd> </dd></dl>berechnet sich als: <dl><dd><p> </dd></dl>Die Vektor<A HREF="../../a/ad/addition.html" title="Addition">addition</A> kann man graphisch interpretieren indem man den Schaft des zweiten Vektors an die Spitze des ersten Vektors anschließt. Der Pfeil vom Schaft des ersten Vektors bis zur Spitze des zweiten Vektors repräsentiert den Ergebnisvektor:<p> <center></center><p> Die Vektoren und können hier als Seiten eines Parallelogramms aufgefasst werden und der Ergebnisvektor als die (längere) <A HREF="../../d/di/diagonale__geometrie_.html" title="Diagonale (Geometrie)">Diagonale</A>. Für die Addition von Vektoren gilt das <A HREF="../../a/as/assoziativgesetz.html" title="Assoziativgesetz">Assoziativgesetz</A> und das <A HREF="../../k/ko/kommutativgesetz.html" title="Kommutativgesetz">Kommutativgesetz</A>.<p> Die <A HREF="../../s/su/subtraktion.html" title="Subtraktion">Differenz</A> dieser beiden Vektoren ist: <dl><dd><p> </dd></dl>Die geometrische Interpretation der <A HREF="../../s/su/subtraktion.html" title="Subtraktion">Subtraktion</A> von zwei Vektoren ist: Zwei Vektoren werden subtrahiert, indem man den Schaft des zweiten Vektors an den Schaft des ersten Vektors anschließt. Der Pfeil des Ergebnisvektors beginnt in der Spitze des zweiten Vektors und endet in der Spitze des ersten Vektors. Alternativ kann man auch die zwei Spitzen zusammenschließen und die Schäfte verbinden.<p> <center></center><p> Die Subtraktion kann auch als Addition des entgegengesetzt orientierten Vektors aufgefasst werden.<p> <A NAME="Multiplikation mit einem Skalar"><H3><A HREF="../../m/mu/multiplikation.html" title="Multiplikation">Multiplikation</A> mit einem Skalar</H3><p> Vektoren können mit <A HREF="../../r/re/reelle_zahl.html" title="Reelle Zahl">reellen Zahlen</A>, oft <em>Skalare</em> genannt, um sie von Vektoren unterscheiden zu können, multipliziert werden: <dl><dd><p> </dd></dl>Die Länge des resultierenden Vektors ist daher . Wenn der Skalar negativ ist, ändert sich zusätzlich die Richtung um 180<A HREF="../../g/gr/grad.html" title="Grad">°</A>. Die folgende Grafik illustriert zwei Beispiele (Multiplikation mit -1 und 2):<p> <center></center><p> Für die Vektoraddition und die Multiplikation mit einem Skalar gilt das <A HREF="../../d/di/distributivgesetz.html" title="Distributivgesetz">Distributivgesetz</A>: <dl><dd><p> </dd></dl><A NAME="Skalarprodukt"><H3><A HREF="../../s/sk/skalarprodukt.html" title="Skalarprodukt">Skalarprodukt</A></H3><p> Das <em>Skalarprodukt</em> (oder <em>Inneres Produkt</em>) zweier Vektoren und , so genannt weil das Ergebnis ein Skalar ist, wird notiert als und ist definiert als <dl><dd><p> </dd></dl>wobei θ der zwischen den beiden Vektoren eingeschlossene <A HREF="../../w/wi/winkel.html" title="Winkel">Winkel</A> ist. (siehe auch <A HREF="../../k/ko/kosinus.html" title="Kosinus">Cosinus</A>). Im Kartesischen Koordinatensystem berechnet es sich als <dl><dd><p> </dd></dl>Geometrisch bedeutet das Skalarprodukt eine Multiplikation der Länge des ersten Vektors mit der Länge der <A HREF="../../p/pr/projektion.html" title="Projektion">Projektion</A> des zweiten Vektors auf den ersten Vektor. Daher ist das Skalarprodukt zweier <A HREF="../../n/no/normal.html" title="Normal">normal</A> aufeinander stehender Vektoren immer 0. Diese Operation wird oft in der <A HREF="../../p/ph/physik.html" title="Physik">Physik</A> gebraucht, zum Beispiel um die <A HREF="../../a/ar/arbeit__physik_.html" title="Arbeit (Physik)">Arbeit</A> zu berechnen, wenn <A HREF="../../k/kr/kraft.html" title="Kraft">Kraft</A> und <A HREF="../../w/we/weg.html" title="Weg">Weg</A> nicht in der selben Richtung verlaufen.<p> <p> Für das Skalarprodukt gilt das <A HREF="../../k/ko/kommutativgesetz.html" title="Kommutativgesetz">Kommutativgesetz</A>.<p> <A NAME="Kreuzprodukt"><H3><A HREF="../../k/kr/kreuzprodukt.html" title="Kreuzprodukt">Kreuzprodukt</A></H3><p> Das <em>Kreuzprodukt</em> (auch <em>vektorielles</em> oder <em>äußeres Produkt</em>) (notiert als ) zweier Vektoren in einem dreidimensionalen euklidischen <A HREF="../../v/ve/vektorraum.html" title="Vektorraum">Vektorraum</A> ist ein bestimmter Vektor, der normal (senkrecht im Sinne des Skalarprodukts) auf der von und aufgespannten Ebene steht.<p> Im gewöhnlichen dreidimensionalen Raum <strong>R</strong><sup>3</sup> ist das Kreuzprodukt von <em>a</em> und <em>b</em> definiert als <dl><dd> </dd></dl>wobei θ der von den beiden Vektoren eingeschlossene Winkel (siehe auch <A HREF="../../s/si/sinus.html" title="Sinus">Sinus</A>), und der zu beiden Vektoren normale Einheitsvektor ist.<p> Diese Definition hat allerdings das Problem, dass es zwei Vektoren gibt, die normal auf und stehen. Den korrekten Vektor bestimmt die <em>Orientierung</em> des Vektorraumes. Das heutzutage verwendete Koordinatensystem ist "rechtshändig" (ein so genanntes "Rechts-System"), d.h. sowohl die <A HREF="../../k/ko/koordinatenachse.html" title="Koordinatenachse">Koordinatenachsen</A> (x, y und z) als auch die Vektoren , und verhalten sich wie Daumen, Zeigefinger und Mittelfinger der rechten <A HREF="../../h/ha/hand.html" title="Hand">Hand</A>, wenn man sie im <A HREF="../../r/re/rechter_winkel.html" title="Rechter Winkel">rechten Winkel</A> zueinander von der Handfläche wegstreckt (daher oft <A HREF="../../m/ma/magnetismus.html" title="Magnetismus">Rechte-Hand-Regel</A> genannt).<p> Graphisch lässt sich das Kreuzprodukt darstellen als:<p> <center></center><p> Im Kartesischen Koordinatensystem kann das Kreuzprodukt berechnet werden als:<p> <dl><dd><p> </dd></dl>Der Betrag von entspricht der Fläche des von und aufgespannten Parallelogramms.<p> Für das Kreuzprodukt gilt nicht das <A HREF="../../k/ko/kommutativgesetz.html" title="Kommutativgesetz">Kommutativgesetz</A>: <dl><dd><p> </dd></dl>Es gibt eine Verallgemeinerung des Kreuzprodukts auf <em>n</em>-dimensionale Räume, die allerdings nicht mehr nur zwei Vektoren verknüpfen, sondern n-1 Vektoren. Das Kreuzprodukt dieser Vektoren ist ein Vektor, der auf allen senkrecht steht und dessen Länge und Richtungssinn von den Längen und der Reihenfolge der Argumente abhängt. <em>Siehe dazu</em>: <A HREF="../../k/kr/kreuzprodukt.html" title="Kreuzprodukt">Kreuzprodukt</A>.<p> <em>Siehe auch:</em> <A HREF="../../a/an/analytische_geometrie.html" title="Analytische Geometrie">Analytische Geometrie</A>, <A HREF="../../s/sp/spatprodukt.html" title="Spatprodukt">Spatprodukt</A>, <A HREF="../../v/ve/vektorgrafik.html" title="Vektorgrafik">Vektorgrafik</A><p> <em>Dieser Artikel enth�lt mathematische Symbole. Diese werden in der <A HREF="../../t/ta/tabelle_mit_mathematischen_symbolen.html" title="Tabelle mit mathematischen Symbolen">Tabelle mit mathematischen Symbolen</A> erl�utert.</em> <hr> <p> <p> <p> <p> <p> <p> <p></div><br><div id=footer><table border=0><tr><td> <small>Dies ist ein Artikel aus der freien Enzyklopädie <a href="http://de.wikipedia.org">Wikipedia</a>. Stand: August 2004. Der Artikel steht unter der <a href="http://www.gnu.org/licenses/fdl.txt">GNU Free Documentation License</a>.</small></td></tr></table></div>