Vektorfeld<meta http-equiv="Content-type" content="text/html; charset=utf-8"> <link rel="shortcut icon" href="../../favicon.ico"><link rel="stylesheet" href="../../wikistatic.css"></head> <body><div id=topbar><table width='98%' border=0><tr><td><a href="../../h/ha/hauptseite.html" title="Hauptseite">Hauptseite</a> | <b><a href="http://de.wikipedia.org/wiki/Vektorfeld" title="Vektorfeld">Aktueller Wikipedia-Artikel</a></b></td> <td align=right nowrap><form name=search class=inline method=get action="../../../search/search.html"><input name=search size=19><input type=submit value=Search></form></td></tr></table></div> <div id=article><h1>Vektorfeld</h1>In der <A HREF="../../m/me/mehrdimensionale_analysis.html" title="Mehrdimensionale Analysis">mehrdimensionalen Analysis</A>, der <A HREF="../../v/ve/vektor__mathematik_.html" title="Vektor (Mathematik)">Vektorrechnung</A> und der <A HREF="../../d/di/differentialgeometrie.html" title="Differentialgeometrie">Differentialgeometrie</A> ist ein <strong>Vektorfeld</strong> eine <A HREF="../../f/fu/funktion__mathematik_.html" title="Funktion (Mathematik)">Funktion</A>, die jedem Punkt eines Raumes einen <A HREF="../../v/ve/vektor__mathematik_.html" title="Vektor (Mathematik)">Vektor</A> zuordnet. Vektorfelder sind von großer Bedeutung in der <A HREF="../../f/fe/feld__physik_.html" title="Feld (Physik)">Feldbeschreibung</A> der <A HREF="../../p/ph/physik.html" title="Physik">Physik</A>, um zum Beispiel die Geschwindigkeit und Richtung jedes Punktes einer bewegten <A HREF="../../f/fl/fla_ssigkeit.html" title="Flüssigkeit">Flüssigkeit</A> anzugeben, oder die Stärke und Richtung einer <A HREF="../../k/kr/kraft.html" title="Kraft">Kraft</A>, die an verschiedenen Punkten verschieden sein kann, wie der <A HREF="../../m/ma/magnetismus.html" title="Magnetismus">magnetischen</A> oder der <A HREF="../../g/gr/gravitation.html" title="Gravitation">Schwerkraft</A>.<p> <A NAME="Definition"><H2>Definition</H2><p> Ein Vektorfeld <strong>F</strong> des <A HREF="../../e/eu/euklidischer_raum.html" title="Euklidischer Raum">euklidischen Raumes</A> <strong>R</strong><sup>n</sup> ist eine <A HREF="../../d/di/differenzialrechnung.html" title="Differenzialrechnung">glatte</A> Funktion von einer offenen Menge <em>U</em> ⊆ <strong>R</strong><sup>n</sup> nach <strong>R</strong><sup>n</sup>. An jedem Punkt der Menge <em>U</em> wird somit ein "Pfeil angebracht", der sich nicht sprunghaft ändert (die Glattheit von <strong>F</strong> heißt, dass <strong>F</strong> unendlich oft stetig partiell abgeleitet werden kann).<p> Allgemeiner werden Vektorfelder auf Mannigfaltigkeiten definiert: Ein Vektorfeld ist ein glatter Schnitt im Tangentialbündel der Mannigfaltigkeit. Das heißt, das Vektorfeld sieht auf jeder <A HREF="../../m/ma/mannigfaltigkeit.html" title="Mannigfaltigkeit">Karte</A> so aus wie ein Vektorfeld des <strong>R</strong><sup>n</sup>.<p> Obwohl die betrachtete Mannigfaltigkeit meist der zweidimensionale oder dreidimensionale <A HREF="../../e/eu/euklidischer_raum.html" title="Euklidischer Raum">euklidische Raum</A> ist (wo der Tangentialraum überall mit diesem euklidischen Raum übereinstimmt), sind auch andere Mannigfaltigkeiten nützlich: Um die großräumige Luftbewegungen auf der Erde zu beschreiben, benutzt man Vektorfelder auf einer <A HREF="../../k/ku/kugel.html" title="Kugel">Kugel</A> (einer zweidimensionalen Mannigfaltigkeit), die <A HREF="../../r/ra/raumzeit.html" title="Raumzeit">Raumzeit</A> ist eine vierdimensionale Mannigfaltigkeit, und Phasenräume komplexe physikalischer Systeme werden oft durch hochdimensionale Mannigfaltigkeiten beschrieben, deren Vektorfelder angeben, wie sich das System mit der Zeit verändert.<p> Im Gegensatz zu Vektorfeldern wird durch ein <A HREF="../../s/sk/skalarfeld.html" title="Skalarfeld">Skalarfeld</A> jedem Punkt einer Mannigfaltigkeit ein <A HREF="../../s/sk/skalar__mathematik_.html" title="Skalar (Mathematik)">Skalar</A> zugeordnet.<p> Wichtige Operationen im Zusammenhang mit Vektorfeldern sind <ul><li> der <A HREF="../../g/gr/gradient__mathematik_.html" title="Gradient (Mathematik)">Gradient eines Skalarfeldes</A>, der ein Vektorfeld ist, </li><li> die <A HREF="../../d/di/divergenz__mathematik_.html" title="Divergenz (Mathematik)">Divergenz</A> und <A HREF="../../r/ro/rotation__mathematik_.html" title="Rotation (Mathematik)">Rotation</A> eines Vektorfeldes, die in gewissem Sinne <A HREF="../../d/di/differenzialrechnung.html" title="Differenzialrechnung">Ableitungen</A> sind.<p> </li></ul><A NAME="Anwendungen"><H3>Anwendungen</H3><p> Vektor- und Kraftfelder haben außer in <A HREF="../../p/ph/physik.html" title="Physik">Physik</A> und <A HREF="../../c/ch/chemie.html" title="Chemie">Chemie</A> auch große Bedeutung in zahlreichen Fachgebieten der <A HREF="../../t/te/technik.html" title="Technik">Technik</A>: <br> <A HREF="../../e/el/elektrotechnik.html" title="Elektrotechnik">Elektrotechnik</A>, <A HREF="../../g/ge/geoda_sie.html" title="Geodäsie">Geodäsie</A>, <A HREF="../../m/me/mechanik.html" title="Mechanik">Mechanik</A>, <A HREF="../../a/at/atomphysik.html" title="Atomphysik">Atomphysik</A>, Angewandte <A HREF="../../g/ge/geophysik.html" title="Geophysik">Geophysik</A>.<p> <em>Siehe auch:</em> <A HREF="../../e/er/erdschwerefeld.html" title="Erdschwerefeld">Erdschwerefeld</A>, <A HREF="../../p/po/potenzial.html" title="Potenzial">Potential</A>, <A HREF="../../p/po/potenzialtheorie.html" title="Potenzialtheorie">Potentialtheorie</A>.<p> <p></div><br><div id=footer><table border=0><tr><td> <small>Dies ist ein Artikel aus der freien Enzyklopädie <a href="http://de.wikipedia.org">Wikipedia</a>. Stand: August 2004. Der Artikel steht unter der <a href="http://www.gnu.org/licenses/fdl.txt">GNU Free Documentation License</a>.</small></td></tr></table></div>